DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. III. 65 7entière , composée d’une descente et d’une montée, seroit tou-jours de la même durée, quoique la demi-oscillation ne fût paségale à la suivante. Une courbe même étant donnée pour cellede la descente, on peut trouver celle qu’il íaudroit pour remplircette condition. En lin, ce qui est remarquable, cette courbeou ces courbes , peuvent devenir, dans quelques cas, pure-ment algébriques ; tandis que toutes les autres tautochrones sonttranscendantes.

Le mémoire de Bernoulli, sur ce sujet, íit sensation parmi lesgéomètres, et donna à ce problème une grande célébrité. Fon-taine qui venoit d’entrer à l’Académie, en donna, en iy 33 ,une solution. Voyez les Mémoires de 1734 et 1768. II dit à cesujet que ce problème avoit tourné les esprits de ce côté-là >qu’on ne parloit que du problème des tautochrones, qu’il endonna une solution, et qu’alors on n’en parla plus. {Mémoirespubliés en 1764: p. 3 ).

II est vrai que la solution de Fontaine a sur les précédentesquelques avantages, en ce que les solutions exigeant qu’on aitl’expression de la vitesse, ne sont applicables qn’aux cas oùl’équation différentielle de cette vitesse est intégrable. C’est pour-quoi Bernoulli et Euler ne traitèrent ce problème que dans le casd’une résistance proportionnelle au quarré de la vitesse. Eulerreconnoît lui-même, à la lin de sa solution de 1729 , que l’ana-lyse étoit, par cette raison , en défaut pour une solution plusgénérale du problème. Mais Fontaine sut trouver une méthodeindépendante de cette intégration, à quoi il parvint au moyend’un calcul particulier, qui consiste à faire varier les quantités dedeux manières différentes ; méthode qui a quelque rapport àcelle par laquelle on est parvenu à résoudre divers problèmestres-difïïciles sur les trajectoires. II appliqua sa méthode à lasolution du problème dans diverses hypothèses , comme cellesd’une résistance proportionnelle à la vitesse, ou à son quarré , ouà une fonction formée de la vitesse et du quarré.

La solution de Fontaine parut en effet aux géomètres si satis-faisante qu’Euler en faisant l’éloge , l’étendit encore en 1764 ,dans le 10 e volume des nouveau s. Mémoires de Pétersbourg.

La Grange en fit ensuite l’objet d’un mémoire lu à l’Académiede Berlin en 1767, et inséré dans le volume de ses mémoires pour1765, II y envisagea la question des tautochrones sous un pointde vue un peu différent, et parvint à une formule génerale etfort simple , qui donne l’expression de la force nécessaire pourproduire le tautochronisme, et qui a l’avantage de renfermestous les cas déjà résolus et une infinité d’autres où l’on doutoxtque le problème pût se résoudre. ,

Fontaine ne voulut pas , Ce semble, après ce qu’il avoit Gît deTome III. * L O 00 o