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on sait ( voye\ CENTRE & LEVIER ) quela somme des produits faits de chaque poidspar fa distance à ce point, est égale au pro-duit de la somme des poids par la distancede leur centre de gravité à ce point ; doncfi on fait tourner le levier autour de cepoint fixe , il s’ensuit que les circonféren-ces étant proportionnelles aux rayons , lasomme des produits de chaque poids par lechemin ou circonférence qu’il décrit, estégale au produit de la somme des poids parla circonférence décrite par le centre degravité. Cette démonstration faite par deuxpoids , s’applique également & facilementà tel nombre qu’on voudra.
Corollaire I. Puisqu’un parallélogrammeABCD{ PI. de médian, fig. 2.6.) peut êtreregardé comme produit par le mouvementde la droite A B toujours parallèlement àelle-même le long d’une autre droite AC,& dans la direction de celle-ci, & que dansce mouvement le chemin d u centre de gra-vité est égal à la droite EF, perpendicu-laire à C D, c’est-à-dire à la hauteur duparallélogramme ; son aire est donc égaleau produit de la baie C D, ou de la ligne,qui décrit le parallélogramme par la hau-.leur EF. Foye\ PARALLÉLOGRAMME.
Ce corollaire pourroit faire naître quel-que soupçon fur îa vérité & la généralité dela réglé précédente : car on pourroit direque la ligne C D Ce mouvant le long deA C , le centre de gravité de cette ligne,qui est son point de milieu , décrit uneligne égaie & parallèle k AC ; & qu’ainíiTaire du parallélogramme ACDB ast le!produit de C D par A C : cc qui feroitfaux. Mais on peut répondre que A C n’estpoint proprement la directrice de CD ,quoique C D fe meuve le long de A C ;que cette directrice est proprement la ligneE F, qui mesure la distance de A B àC D ; & que le chemin du centre de gra-vité par lequel il faut multiplier la lignedécrivante C D, n’est point le chemin ab-solu de ce centre , mais son chemin estimédans le sens de la directrice, ou le cheminqu’il fait dans un sens perpendiculaire à laligne décrivante. Cette remarque est né-Çestàire pour prévenir les paralogifmes danslesquels on pourroit tomber, en appliquantfans précaution la réglé précédente à laTome FL
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mesure des surfaces & des solides.
Corail. IL On prouvera de la mémemaniéré que la solidité de tout corps décritpar un plan qui descend toujours parallèle-ment à Iui-mêmele long de la droite A C ,Lt suivant la direction de cette droite , doitfe trouver en multipliant le plan décrivantpar fa hauteur. Voye\ Prisme & Cy-lindre.
Coroll. III. Puisque le cercle se décritpar la révolution du rayon G L {fig. 27 )autour du centre C , & que le centre degravité du rayon C L est dans son milieu F 3le chemin du centre de gravité est doneici une circonférence d’un cercle X décritpar un rayon foudouble ; & par conséquentTaire du cercle est égale au produit durayon C L , par la circonférence que, dé-criroit un rayon foudouble de C F; cequ’on sait (Tailleurs. Foye\ Cercle.
Coroll. IF. Si un rectangle A B C D{PI. de méch. fig. 28. ) ç'ourne autour deion axe A D , \e rectangle décrira par cemouvement un cylindre, & le côté B Cla surface de ce cylindre : mais le centrede gravité de la droite B C, est dans sonmilieu F ; & le centre de gravité du planqui engendre le cylindre , est dans le mi-lieu C de la droite E F. Ainsi le chemin dece dernier centre de gravité est la circon-férence d’un cercle décrit du rayon E G ;fit celui du premier, la circoníérence d’uncercle décrit du rayon EF : donc la sur-face dú cylindre est le produit de la hau-teur B C, parla circonférence d’un cercledécrit du rayon E F; & la solidité du cy-lindre est le produit du rectangle A B C />,qui sert à fa génération, par la circonfé-rence d’un cercle décrit d u rayon F G fou-,double de F F, demi-diametre du cylin-dre. Supposons, par exemple, la hauteurdu plan qui engendre le cylindre , & parconséquent celle du cylindre BC =-a , ledjametre de la base D C — r, on auradonc E G r ; & supposant que le demi-
diamètre soit à la circonférence comme 1est à m j la circonférence décrite par lerayon ì r sera = ì m r; d’où >1 S enfuitque multipliant d m r par Tah'edu rectan-gle /í G' a r , ôn aura h sohdite du cy-lindre — {man; mais * m a r - — r r XPppp