CON

met au foyer ou centre ; dans I ellipse, leparamétré de tout diamètre est à iegardde cette distance dans une raison qui estentre la double & la quadruple ; dans laparabole cette raison est précisément le qua-druple , & dans l’hyperbole la raison paíïèle quadruple.

3°. Qste tous les diamètres des cercles& des ellipses se coupent au centre & en-dedans de la courbe ; que ceux de la pa-rabole font tous paraielles entr’eux & àl’axe ; que ceux de l'hyperbole se coupentan centre , auíïì-bien que ceux de 1 ellip-se , mais avec cette différence que c est en-dehors de la courbe.

On peut soustraire des principales pro-priétés des sections coniques , dans Y applica-tion de l’aìgebre à la géométrie , par M.Guisnée : ceux qui voudront les apprendreplus en détail, auront recours à f ouvragede M. le marquis de l’Hopital, qui a psurtitre, traité analytique des sciions coniques :enfin on trouvera les propriétés des fêtonsconiques traitées fort au long dans l’ouvragein-folio de M. de la Hire, qui a pour titre,féliones conicce in novem libros dijlributœ ;mais les démonstrations en font pour laplupart très-longues, & pleines dune syn-thèse d stìcile & embarrassée. Enfin M. dela Chapelle, de la société royale de Lon-dres , vient de publier fur cette matière untraité instructif & asièz court , approuvépar f académie royale des sciences.

Les se lions coniques , en y comprenantle cercle, composent tout le système deslignes du second ordre ou courbes du pre-mier genre, lá ligne droite étant appeléeligue du premier ordre. Ces lignes du se-cond ordre ou courbes du premier genre,font celles dans 1 équation desquelles les in-déterminées x , y , montent au second de-gré. Ainsi pour représenter en général tou-tes les suions coniques , il saut prendre uneéquation dans laquelle x , y, montent ausecond degré, & qui soit la plus compo-sée qui se puisse ; c'est-à-dire qui contien-ne , outre les quarrés x x & jy, i°. leplan xy , z° un terme qui renferme x li-néaire 3 3 ° un terme qui contienne y li-néaire , & enfin un terme tout constant.Ainsi ^équation générale des fêtons co-

C O N

]y y "Y p xy -\-b x x-\-c x -j-a = o.

+ fy

Cela posé , voici comment on peut réduirecette équation à représenter quelqu’une dessciions coniques en particulier.

Soit y+T' + 7 : =i[. on aura ;ç

mques

sel a

r r.?*4

Zftx

+ b x x ■

99

+ CX-^

4 1 4

0 — 0. Equation qu’on peut changer encelle - ci.

£ £ "k Axx~\'Bx-\-C—o. On verrafacilement que les nouvelles coordonnéesde la courbe font i , Sc une autre ligne uqui est en rapport donné avec x , de fortequ’on peut supposr x~mu; ainsi l’équa-tion pour les coordonnées u , fera

^+jDli!i+i 7 !í+G = (l.

Or , i° si D ~ o , la courbe est une pa-rabole: z° si D est négatif, la courbe estune ellipse ; & elle íèra un cercle , siD —— i , Sc que l’angle des coordonnées[ Sc u soit droit : 3° si D est positif, lacourbe sera une hyperbole. Au reste ilarrivera quelquefois que la courbe fera ima-ginaire , lorsque 1a valeur de ^ en u feraimaginaire.

C’est ainsi qu’on pourroit parvenir à don-ner un traité vraiment analytique des sec-tions coniques ; c’est-à-dire où les proprié-tés de ces courbes seroient déduites immé-diatement de leur équation générale , SCnon pas comme dans l’ouvrage de M. I emarquis de l’Hopital , de leur descriptionsur un plan. M. l’abbé de Gua a fait s urce sujet de fort bonnes réflexions dans sonouvrage intitulé , usage de l’analysDesartes , Sc il y trace le plan d’ùn pa-reil traité.

M. le marquis de l’Hopital, après avoirdonné dans les trois premiers livres de sonouvrage les propriétés de chacune d es sc-iions coniques en particulier, a coniacre lequatrième livre à exposer les propriétés quileur font communes à toutes : par exem-ple , que toutes les ordonnées a un me-me diamètre soient coupées en deux ega-lement par ce diamètre, ^ue les tangentes aux deux extrémités d une meroe °

donnée aboutissent meme point du dia-

f métré , §v. Les