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Les anciens avoient considéré d’abord

íes sections, coniques dans ie cône ou ellesfont nées ; & la meilleure maniéré de trai-ter ces courbes, feroit peut-être de les en-visager d’abord dans le cône , d’y chercherleur équation , & de les transporter ensuitesur le plan pour trouver plus facilementpar le moyen de cette équation leurs au-tres propriétés; c’est.ce que M. de la Cha-pelle s’est proposé de faire dans l’ouvragedont nous avons parlé.

Quelques auteurs , non contens de dé-montrer les propriétés des sections coniquesfur le plan , ont encore cherché le moyende démontrer ces propriétés , en considé-rant les sections coniques dans le cône me-me. Ainsi M. le marquis de- l'Hopital aconsacré le sixième livre de son ouvrage àfaire voir comment on retrouve dans lesolide íes mêmes propriétés des sectionsconiques démontrées fur le plan : il a rem-pli cet objet avec beaucoup de clarté &de simplicité. Dans cet article nous avonsenvisagé les sections coniques de la maniéréqui demande le moins a apprêt, mais quin’est peut-ctra pas la plus naturelle : la mé-thode que nous avons suivie convenoitmieux à un ouvrage tel que celui-ci ; ôccelle que nous proposons conviendroitmieux à un ouvrage en forme fur les sec-tions coniques. Voyelles articles C.OURBE ,Lieu , Construction , &c.

Pour démontrer les propriétés des sec-tions coniques dans le cône , il est bon deprouver d abord que toute section coniqueest une courbe du second ordre , c'est-à-dire où les inconnues ne forment pas uneéquation plus haute que le second degré.Cela peut se prouver très-aisément parl’aigebre , en imaginant un cercle qui servede baie à ce cône, en Élisant les ordonnéesde la section conique paralelles à celles ducercle , & en formant des triangles sem-blables qui ayent pour sommet communcelui d u cône , & pour bases les ordonnéesparalelles , &c. Nous ne faisons qu’indi-stuer la méthode: les lecteurs intelligens latrouveront fans peine ; & les autres peu-vent avoir recours à la théorie des ombresdans l’ouvrage de M. l’abbé de Gua , quia pour titre ûs ages J e l’analyse, de Descar-tes , &c.

Tome VIII ,,

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Cela bien démontré, il est visible que lasection d-’an cône par un plan qui le tra-verse encierement , ne peut être qu’uneellipse ou un cercle ; car cette section ren-tre en elle-même , ôc ne sauroit être parconséquent ni hyperbole ni parabole : deplus , son équation ne monte qu’au seconddegré , ainsi elle ne peut être que cercleou ellipse. Mais on ni pas trop bien dé-montré dans quel cas la section est un cer-cle ou une ellipse.

i°. Elle est un cercle , lorsqu’elle est pa-ralelle à la base du cône.

i°. Elle est encore un cercle , lorsqu’elleforme une section sous-contraire, & lots-quelle est de plus perpendiculaire au trian-gle paslant par l’axe du cône, ôc perpen-,diculaire lui-même à la base ; cela est dé-montré dans plusieurs livres. Voye^ Sous-

CONTRAIRE.

3°. Il est aisé de conclure de la démons-tration qu’on donne d’ordinaire de cette,proposition , & qu’on peut voir , si l’onveut, dans le traité des sections coniques deM. de la Chapelle, que toute section per-pendiculaire au triangle par l’axe, ôc quine fait pas une section sous-contraire, estune ellipse. Mais si la section n’est pas per-pendiculaire à ce triangle, il devient un peuplus difficile de le démontrer. Voici com-ment il faut s’y prendre.

En premier lieu, íî dans cette hyperbolela section conique passe par une autre ligneque celle que forme la section sous-con-traire avec le triangle par l’axe , il est aiséde voir que le produit des segmens dedeux lignes tirées dans le plan de la courbene ^ fera pas égal de part ôc d autre ; ôcqu’ainíì la courbe n’est pas un cercle, puis-que dans le cercle les produits des segmensfont égaux.

En second lieu , si dans certe même hy-pothèse le plan de h courbe passe par une| i rr n p nue forme fa section fous - contraireavec le triangle par 1 axe z n n y a qu a ima-giner un aurre triangle perpendiculaire Lcelui-ci, & passant par l’axe ; on verra aisé-ment i°. que ce triangle sera isocèle ; 2 0 .que la section de ce triangle avec la sectionsous-contraire , fera paralelle à la base ; 3 0 .que par conséquent le pi n dont il s’agitétant différent de la section sous-contraire

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