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Descartes est le premier quî ait pensé à«xprimer les lignes courbes par des^ équa-tions. Cette idée fur laquelle est fondée l’ap-plication de Pâlgebre à la géométrie ( wyqApplication & Découverte) est très-heureufe & très-féconde. _

11 est visible que l’équation d’une courbe ,étant résolue,donne une ou plusieurs valeursde I’ordonnée y pour une même abscisse x ,& que par conséquent une courbe tracéen’est autre chose que la solution géométri-que d’un problème indéterminé ; c’est-à-direqui a une infinité de solutions : c’est ce queles anciens appelloient lieu géométrique.Car quoiqu’ils n’eussent pas l’idée d’expri-mer les courbes par des équations,ils avoientvu pourtant que les courbes géométriquesn’étoient autre chose que le lieu , c’est-à-dire , la suite d’une infinité de points quisatisfaisaient à la même question ; par exem-ple , que le cercle étoit le lieu de tous lespoints qui désignent les sommets des anglesdroits qu’on peut former fur une même basedonnée, laquelle base est le diamètre ducercle ; & ainsi des autres.

Les courbes se divisent en algébriques,qu’on appelle souvent avec Descartes cour-bes géométriques ; & en transcendantes ,que Te même Descartes nomme méchani-ques.

Les courbes algébriques ou géométriquesfont celle où la relation des abscisses A Paux ordonnées P M Çfig. 5 2..) est ou peutêtre exprimée par une équation algébrique.Voye\ ÉQUATION & ALGÉBRIQUE.

Supposons , par exemple , que dans uncercle on ait A B =s a , A P = x y P M— y ; on aura PB~a — x : par consé-quent , puisque P Mi = A P X P B, onaura y y =341-11 ; ou bien si on sup-pose P C =sx y A C = a,PM~y,onaura M C* — P = PAT*, c’est-à-dire a 1 '— xt~y*.

II est visible par cet exemple, qu’unemême courbe peut être représentée par dif-férentes équations. Ainsi fans changer lesaxes dans l’équation précédente , si on prendl’origine des x au sommet du cercle , aulieu de les prendre au centre, on trouve ,comme on vient de le voir , y y — xx pour l’équation.

Plusieurs auteurs, après Descartes, n’ad-

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mettent que les courbes géométriques dansla construction des problemes, & par con-séquent dans la géométrie ; mais N. Newton& après lui, MM. Leibnitz & Wolf sontd’un autre sentiment, & prétendent avepraison que dans la construction d’un problè-me , ce n’est point la simplicité de l’équa-tion d’une courbe qui doit la faire préférer àun autre , mais la simplicité & la facilité dela construction de cette courbe. Voy. CONS-TRUCTION, Problème, ù Géomé-trique.

Courbe transcendante ou méchânique,est celle qui ne peut être déterminée par uneéquation algébrique. V. Transcendant.

Descartes exclut ces courbes de la géo-métrie ; mais Newton & Leibnitz sont d’unavis contraire pour la raison que nous venonsde dire. En effet une spirale , par exemple ,quoique courbe méchânique , est plus aiséeà décrire qu’une parabole cubique.

L’équation d’une courbe méchânique nepeut être exprimée que par une équationdifférentielle entre les d y & les d x. Voye\DifféRENCIEl. Etre ces deux genres decourbes , on peut placer, i°. les courbes

eXponentieìles,dans l’équation defquelles unedes inconnues , ou toutes les deux entrenten exposant, comme une courbe dont l’équa-tion seroit .y = a * , ou_y xt=t ay &c. V.Exponentiel. z°. Les courbes interscen-dantes dans l’équation desquelles les exposonssont des radicaux , comme x — y V *. Cesdeux especesde courbes no sont proprementment ni géométriques ni méchaniques, parceque leur équation est finie sons être algébri-que.

Une courbe algébrique est infinie , lors-qu’elle s’étend à Pinfini, comme la parabole& Phyperbole ; finie , quand elle fait desretours fur elle-même comme l’ellipfe ; &mixte , quand une de ses parties est infinie,

& que d’autres retournent fur elles-mêmes.

Pour se former l’idée d’une courbe par lemoyen, de son équation , il faut imaginerque l’équation de la courbe soit résolue,c’est-à-dire , qu’on ait la valeur de yen xCela posé , on prend toutes les valeurs posi-tives de x depuis 0 jusqu’à Pinfini, & tou-tes les valeurs négatives depuis o jusqu’àPinfini. Les ordonnées correspondantes don-neront tous les points de la courbe , les or-