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données positives étant prises toutes dumême sens , & les négatives du côté opposé.Voilà ce qu’on trouve dans tous les algébris-tes & géomètres modernes. Mais aucun n’adonné la raison de cette réglé. Nous la don-nerons dans la fuite de cet article , aprèsavoir parlé auparavant de la transformationdes axes d’une courbe.

11 est certain qu’après avoir rapporté l’é-quation d’úne courbe à deux axes quelcon-ques d’abcistes & d’ordonnées, on peut larapporter à deux autres axes quelconquestirés , comme on voudra , dans le plan de lacourbe. De ces doux axes, Pun peut être pa-rallèle ou coïncident à P axe des x, & P autreparallèle ou coïncident à P axe des y ; ils peu-vent austì n'être point parallèles ni Pun nil’autre aux deux premiers axes,maisfaire aveceux des angles quelconques. Supposons, parexemple , que A P (x) Sc P M (y ) soient( P L d’Algeb.fig. ij.) les ab seines & lesordonnées ’ d’une courbe , Sc qu’on veuillerapporter la courbe aux nouvelles coordon-nées quelconques A p & p AI ; on tirera AB Sc B q parallèles à y Sc à x , & on nom-mera les coordonnées nouvelles A p ({) Scp M (u). Cela posé, il est visible que P anglea p M est donné , comme on le suppose ,ainsi que l’angle p B q Sc Pangle B q mouson égal Am M y Sc que a B Sc A B sontaussi donnés de grandeur Sc de position.Donc si on nomme a B , a , Sc AB, b ,on aura B p =s q —< a , B q ou A m~( i —«) , m, m exprimant le rapport connude B q à B p ; P m =iy n , n étant demême un coefficient donné , & par consé-quent A P ou x — ( ^ —• a) m \ y n : deplus M m =i_p M ■— 'pm~p M—A B'—p qe=u —• b—\q \a q , q ét ant demême un coefficient donné , Sc M P ou y~ ( u — -b—\ q \ a q) X k : donc on auray (u —■ b — ^q \ a q) k Sc x=^ { ^—, a )m \ n k { u —• b •— \ q\ & q) ì donc si onmet à la p lape de x & de y leurs valeursqu’on vient de trouver en ^ & en «, on auratine nouvelle équation par rapport aux coor-données \ Sc u. Voyez à l’art. Transfor-MATION DES AXES un plus grand détail.

11 est visible qu’on peut placer non-seule-ment P axe des \ & P axe des u , mais aussiP axe des x & celui des jk , par-tout où l’onvoudra , fans que la courbe change pour cela

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de place , & que la position de la courbe esttotalement indépendante de la position desaxes ; de forte que les ordonnées u partantde P axe des \ , doivent aboutir aux mêmespoints que les ordonnées y , partant de P axedes x. Cela est évident par les opérationsmême que l’on fait pour la transformationdes axes. D’ailleurs on doit considérer qu’unecourbe n’est autre chose que le lieu d’uneinfinité de points qui servent à résoudre unproblème indéterminé , c’est - à - dire , unproblème qui aune infinité de solutions. Or,la situation de ces points est totalement in-dépendante de la position des axes auxquelson les rapporte, ces axes pouvant être placéspar-tout où l’on voudra. De ces principes,on peut tirer les conséquences suivantes furla position des ordonnées.

i °. Les ordonnées positives doivent êtreprises d’un même côté ; car soit (fig. j 6 n°.j. analyf ) A P l’axe desx, & qu’on trou-ve deux valeurs positives poury ; soit P m.la plus grande de ces valeurs , je dis que laplus petite P m doit être prise du mêmecôté. Car soit transposé l’axe A P en a p ,en sorte que P p — a , & soit a p = x &cpon aura l’équation rapportée aux,axes x & ^ , en mettant q 1 —• a pour y dansl’équation de la courbe ; & on aura chaque,valeur de \ égale aux valeurs correspondan-tes dey, augmentées chacune de a ; doncau point p , on aura deux valeurs positivesde i , savoir a \ P Mií a \ P m. Or si on.ne prenoit pas P M du même côté que P m ,mais de l’autre côté, l’ordonnée p M , au-lieud’être a\ P M, seroit a — P M ; la courbechangerait donc ou d’équation ou de figure,en changeant d’axe ; & tandis qu’une de sesparties resterait à la même place , l’autre se .promènerait, pour ainsi dire , suivant quel’on changerait l’axe de place. Or, ni l’un nil’autre ne se peut. Donc il faut que P M ScP m soient pris du même côté , quand ilsfont tous deux positifs.

2°. Si on a deux valeurs , l’une positiveP M, l’autre négative P m ( fig. 3 n°. L.}

il faudra les prendre de differens côtés. Car

soit, par exemple , P M~ V x , Sc P/7Z=—■ V" x : transposant l’axe A P ou a p,en sorte que p P = a, Sc mettant ^ 1 — apour y dans l’équation de la courbe , on aura