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x&.\~cl~-V x. Si on sup-pose V x < a ., ce qui se peut toujours,puisque a est arbitraire, on trouvera \ ou p= aj-FM&cioupm=^a — P M.Donc P m doit être égale à P ils, & prisedans un sens contraire. Tout cela est aisé àvoir avec un peu d’attention.

Lorsque les ordonnées font positives ,elles appartiennent toutes également à lacourbe , ce qui est évident puifqu’il n ’y a pasde raison pour préférer l’une à l’autre. Maislorsqu’elles font négatives, elles n’appartien»nent pas moins à la courbe ; car , pour s’enconvaincre, il n’y a qu'à reculer Taxe de fa-çon que toutes les ordonnées deviennent po-sitives. Dans cette derniere position de Taxe,toutes les ordonnées appartiendront égale-ment à la courbe. Donc il en fera de memedans la premiere position que Taxe avoit.

Donc supposant x positive, toutes les va-leurs de y tant positives que négatives , ap-partiennent à la courbe ; mais au lieu deprendre la ligne des x pour Taxe , on peutprendre la ligne des y , & alors on aura desvaleurs tant positives que négatives de x ,lesquelles par la même raison appartiendrontauííi à la courbe. Donc la courbe renfermetontes les valeurs des y répondantes à unemême x ; & toutes les valeurs des x répon-dantes à un mêmey, ou ce qui revient aumême, elle renferme toutes les valeurs posi-tives & négatives de y répondante, soit auxx positives, soit aux x négatives. En effet, sidans l a valeur dey qui répond aux a: positives,on change les signes des termes où x se trou-ve avec une dimension impaire , on aura lavaleur dey correspondante aux x négatives;& cette équation fera évidemment la mêmequ’on auroit, en résolvant l’équation en x& en y , après avoir changé d’abord danscette équation les signes des termes où x setrouve avec une dimension impaire. Or jedis que cette derniere équation appartientégalement à la courbe ; car ordonnons l’é-quation primitive par rapport à x , avantd’avoir changé aucun signe , & cherchonsles valeurs de x en y ; nous venons de voirque les valeurs , tant positives que négativesde x , appartiennent à la courbe. Or les va-leurs négatives font les mêmes que l’on au-roit avec un signe positif, en changeant dansl’équation primitive les signes des termes où'Tome IX.

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x se trouve avec une dimension impaire ;car on sait que dans une équationo rdonnéeen a-, si on change les signes des termeso ùx se trouve avec une dimension impaire ,toutes les racines changent de signe fanschanger d’ailleurs de valeur. Voye\ Equa-tion. Donc l’équation en x, avec le chan-gement des signes indiqués, appartient auffi-bien à la courbe que l’équation en x , fanschanger aucun signe. Donc, &c. II est doncimportant de changer les signes de x , s’ilest nécessaire pour avoir la partie de la courbequi s’étend du côté des a: négatives. En effet,soit par exemple , y y = a a —• x x l’é-quation du cercle , 011 aura, en prenant x

positive, y í=3 -4- V a a — x x ; & en fai-sant x négative, on aura de même y — —f—

V'aa' —'ra:: ce qui donne le cercle en-tier. Si on prenoit seulement a: positive , onn’auroit que le demi-cercle ; & si on ne pre-noit y que positive, on n’auroit que le quartdu cercle.

Voilà donc une démonstration généralede ce que tous les géomètres n’ont supposéjusqu’à présent que par induction. En effet,ils ont vu , par exemple , que si y ~a — x,c’est l’équation d’une ligne droite qui coupeson axe au point où x — a , & qui ensuitepasse de l’autre côté. Or quand x > a , onay négative ; ainsi , ont-ils dit, l’ordonnéenégative doit être prise du côté opposé à lapositive. lis ont vu encore que y -f-p x efì l’équation de la parabole, & quëcëttecourbe a en effet deux parties égales & sem-blables , l’une à droite à l’autre à gauche deson axe, ce qui prouve que —• V px doitêtre prise du côté opposé à V'p x. Plusieursautres exemples pris du cercle des sectionsconiques rapportées à tel axe qu’on jugera âpropos^, ont prouvé la réglé de la positiondes ordonnées & la nécessité de prendre xnégative, après savoir pris positive. On s’enest tenu la : mais ce n’étoit pas une démons-tration rigoureuse.

Les differentes valeurs de y répondantesà a- positive & à x négative , donnent lesdifférentes branches de la courbe. VoyezBranche.

Lorsqu’on a ordonné l’équation d’unecourbe par rapport ày ou àx, s’il ne se trou-

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