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tîon apparente d’une courbe se divise, n’enseroient pas moins rationnelles quand ellesrenfermeroient des radicaux, pourvu quela variable x ne se trouvât pas fous ces radi-caux ; par exemple , une équation qui seroit
formée de ces deux-ci , y — V tia -J- b b
>—’ x == o & y '—■ Y u u —j— b b —f— x ^ o ,représenteroit tou']ours le système de deuxlignes droites. II faut feul ement rem arquerque I’équation y y — z y Y a a —b b —j— a a-f- b b — x x = o qui résulte de ces deux-là, se change en faisant évanouir tout-i-faitle signe radical, en celle-ci (y y —f- a a —f—bb'—xx) 2 '—i í yy{aa -h- b b ) = o ,qui est du quatrième degré , & qui renfermele système de 4 lignesdroites y —-Y a a — b~b>— x= o, y — ’Yua — bb— f- *= o >y
- 4 - Yaa-\-bb —,y-f- V aa-\-bb-f- x =3 o.
3 0 /Les équations font encore rationnellesquand mème x se trouveroit sous le signeradical , pourvu qu’o n puistè l’en dégager :
par exemple , y — a a x x X b b x x«o & _y — V / d d x 2 X x 2 =nose chan-gent en j = Xr)/aJXtó, & J =: X
x dd X ee , qui est le système des quatrelignes droites, où l’on voit que les deuxéquations radicales en ont iourni chacunedeux autres , parce que la racine de x x estégalement X x &—■ x. Jem’étends fur cesdifférens objets, parce qu’ils ne font pointtraités ailleurs, ou qu’ils le font trop suc-cinctement , ou qu’ils le sont mal.
Ceci nous conduit à parler d’uiie autremaniéré d’envisager l’équation des courbes ,c’est de déterminer une courbe par l’équationhon entre x & y , mais entre les./ qui répon-dent à une mème abícisiê.
Exemple. On demande une courbe , danslaquelle la somme de deux ordonnées, cor-respondantes à une même x , soit toujourségale à une quantité constante z a y je disque l’équation de cette courbe seta^y ~a XV X , X désignant une quantité radicalequelconque , composée de x & de constan-tes. En effet, les deux ordonnées y ~a Xj/X tky î = a *— }/X ajoutées ensemble,
COU §6z
donnent une somme = z « ' mais il fautbien remarquer que VX doit être une quan-tité irrationnelle ; car , par exemple , y =1
a X ~y Sc y = a •— ^ ne satisferoient
pas au problème , parce que ces deux ■équa-tions ne désigneroient pas le système d’uneseule & même courbe. De même si on de-mande une combe , dans laquelle le produit,des deux ordonnées correspondantes àx soitune quantité Q , qui contienne x avec desconstantes , ou qui soit une constante , on
fera X l/P P <— Q, P étant une
quantité quelconque qui contienne x avecdes constantes , ou qui soit constante;car le produit des deux valeurs P X
K'Fp^Ô"& P — VT~P"-' Q don-nera Ç. Voyez fur tout cela les journaux deLeipsic de 1697, les mémoires del’académiedes Sciences de 1734 , & Yintroduciio adanalyfim infinitorum , par M. Euler, c. xjv.
Cours d’une courbe. Pour déterminer lecours d’une courbe , on doit d’abord résou-dre l’équation de cette courbe , & trouverla valeur de y en x ; ensuite on prend diffé-rentes valeurs de x , & on cherche les va-leurs des^y correspondantes ; on voit par-làles endroits où la courbe coupe son axe , sa-voir les points où la valeur dejy ~o ; lesendroits où la courbe aune asymptote, c’est-à-dire , les points où y est infinie , x restantfinie , ou bien où y est infinie , & a un rap-port fini avec x supposée auffi infinie ; lespoints où y est imaginaire , & où par con-séquent la courbe ne pastb pas, C c. Ensuiteon fait les mêmes opérations en prenant x
négative. Par exemple, soit^j— y x ~) ^x x —i— a a l’équation d’une courbe , on auradonc y =3 —— - 4 — \/ x x -f- a. a . Ce qui
fait voir , i°. que chaque valeur de x donnedeux valeurs de_y , à cause du double signe~f~ ; 2. 0 . que siï = o,onay!=a -+- a ,c’est-à-dire, y = o & y = z a ; 3 0 . que six — a , y — à Pinfini, & que par consé-quent la courbe a une asymptote au point oùx = a ; 4 0 . que si x = à Pinfini, on a y =—f— x ; ce qui prouve que la courbe a desasymptotes qui font avec son axe un angleD d d d d 2.