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de 4? degrés ; en faisant x néZatívs on ]trouve y =3 y~ x ~f~ j/aa; —i— u a, équa-tion sur laquelle on fera des raisonnemenssemblables. II en est de même des autres
cas. Si Péquation avokjAxx—'a a, ontrouveroit qu’au point où 1 = 0, Pordon-née devient imaginaire , &c.
On peut tracer à peu-près une courbe parplusieurs points, en prenant plusieurs va-leurs de x assez près l’une de Vautre , &cherchant les vahurs de y. Ces méthodes dedécrire une courbe par plusieurs points fontplus commodes , & en un sens plus exactesque celles de les décrire par un mouvementcontinu. Voye\ CoMPAS ELLIPTIQUE.
Les anciens n’ont guere connu d’autrescourbes que le cercle , les sections coniques,la conchoïde & la ciííoïde. Voye\ ces mots.La raiípn en est toute simple , c’est qu’onne peut guere traiter des courbes fans le se-cours de l’algebre, & que Valgèbre paroîtavoir été peu connue des anciens. Depuis cetemps on y a ajouté les paraboles & hyper-boles cubiques , & le trident ou parabolede Descartes ; voilà où on en est resté , jus-qu’au Traité des lignes du troisième ordrede M. Newton , dont nous parlerons plusbas. Voye\ Parabole , Hyperbole ,Trident, &c.
Nous avons dit ci-destùs que les courbesméchaniques font celles dont l’équation entreles coordonnées n’est & ne peut être algébri-que , c'est-à-dire, finie. Nous disons ne peutêtre , car si l’équation différentielle d’unecourbe avoit une intégrale sinie, cette courbequi paroîtroit d’abord méchanique , seroitréellement géométrique. Par exemple , si
, a dx t n
d y « -ZH , la courbe est géométri-
iVax
que , parce que l’intégrale eíìy — l^z axH— A; ce qui représente une parabole. Mais
a d x
l’équation d y — —' - — est Péquation
Víax-xx
d’une courbe méchanique, parce que l’onne sauroit trouver l’intêgrale de cette équa-tion différentielle. Voye\ Différentiel,Intégral ù Quadrature.
Les anciens ont fait très-peu d’usage descourbes méchaniques j nous ne leur en con-
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noissons guere que deux, la spirale d’Archî-mede & la quadratrice de Dinostrate. Voye çces mots. Ils se servoient de ces courbespour parvenir d’une maniéré plus aisée à laquadrature du cercle. Les modernes ontmultiplié à Pinfini le nombre des courbesméchaniques ; le calcul différentiel a faci-lité extrêmement cette multiplication, &les avantages qu’on pouvoit en tirer. Voye çMéchanique. Revenons au tcourbes algé-briques ou géométriques , qui font cellesdont il fera principalement mention danscet article , parce que le caractère de leurséquations , qui consiste à être exprimé eij_termes finis , nous met à portée d’établirfur ces courbes des propositions générales,qui n’ont pas lieu dans les courbes média-niques. C’est principalement la géométriedes courbes méchaniques, qu’on appellegéométrie transcendante , parce qu’elleemploie nécessairement le calcul infinitési-mal ; au lieu que .la géométrie des courbesalgébriques n’emploie point, du moins né-cessairement , ce calcul pour la découvertedes propriétés de ces courbes , si on en ex-cepte leurs rectifications & leurs quadratu-res ; car on peut déterminer , par exemple,leurs tangentes , leurs asymptotes, leursbranches , &c. & toutes les autres proprié-tés de cette espece, par le secours du seulcalcul algébrique ordinaire. Voye\ les ou-vrages de MM. Euler & de Gua, déjà cités,& l’ouvrage de M. Cramer , qui a pour ti-tre Introduction à Vanalyse des lignes cour-bes , Genev. 1J$o , in-4 0 .
Nous avons vu ci-destùs comment ontransforme les axes x &c y d’une courbe parles équations x = A\ -f- B u -f- C ,y =D •{ H— E u -st- F ; c’est-íà la transforma-tion la plus générale ; & si on veut fairedes transformations plus simples , on n’aqu’à supposer un des coefficiens A , C ,D , &c. ou plusieurs égaux à zero, pourvuqu’on ne suppose pas, par exemple ,A&cBensemble égaux à zero , ni D & E ensem-ble égaux à zero , car on auroit x = C , &yx=sF ; ce qui ne se peut, puisque x & yqui sont des indéterminées, ne peuvent êtreégales à des constantes. On ne doit pointnon-pîus supposer en même temps B Sc E3= o, ni A & D = o ; car , substituant lesj valeurs de x & de y } on n’auroit plus dan®