G O u

f équation de la courbe qii’une seule indéter-miné' u. Or il saut qu’il y en ait toujours deux.

II est visible que si on substitue à la placede x & de y les valeurs, ci-destus dans l’équa-tion de la courbe , l’équation n’augmenterapas de dimension ; car on détermine la di-mension & le degré de l'équation d’unecourbe, parla plus haute dimension à laquellese trouve Tune ou l’autre des inconnues x ,y , ou le produit des inconnues ; par exem-jale, l’équation d’une courbe est du troi-sième degré , lorsqu’elle contient le cubey t , ou le cube x; , ou le produit x y y,ou x x y , ou toutes ces quantités â la fois,ou quelques-unes seulement. Or, commedans les équations x — A q —|— B u -st— C ,y = D 3 -t- E u -st- F , i & u ne mon-tent qu’au premier degré, il est évident quesi on substitue ces valeurs dans l’équationen sc & en y, la dimension de l’équation &son degré n’augmentera pas. II est évident,par la même raison , qu’elle ne diminuerapas ; car si elle diminuoit, c’est-à-dire , sil’équation en 3 & en u étoient de moindredimension que l’équation en sc & en y , alorssubstituant pour 3 & pour u leurs valeurs enx & en y , lesquelles font d’une feule dimen-sion , comme il est aisé de le voir , on re-trouveroit l’équation en sc & en y , & parconséquent on parviendroit à une équationd’une dimension plus élevée que l’équationen 3 & en u ,• ce qui est contre la premiereproposition.

Donc en général, quelque transforma-tion d’axe que l’on fasse , l’équation de lacourbe ne change point de dimension. Onpeut voir dans l’ouvrage de M. l’abbé deGua , & dans l’introduction à l’analyse deslignes courbes par M. Cramer , les maniérésabrégées de faire le calcul pour la transfor-mation des axes. Mais ce n’est pas de quoiil s’agit ici, cette abréviation de calculétant indifférente en elle-même aux proprié-tés de la courbe. Voye\ a«j7iTRANSFORMA-TION des axes.

Courbes algébriques du même genre oudu même ordre , ou du même degré , fontcelles dont l’équation monte à la même di-mension. Voye\ Ordre & Degré.

Les courbes géométriques étant une foisdéterminées par la relation des ordonnéesaux abscisses, on les distingue en différens

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genres 011 ordres ; ainsi les lignes droitessont les lignes du premier ordre ; les lignesdu second ordre sont les sections coniques.

II faut observer qu’une courbe du premiergenre , est la même qu’une ligne du secondordre , parce que les lignes droites ne sontpoint comptées parmi les courbes , & qu’uneligne du troisième ordre est la même chosequ’une courbe du second genre. Les courbes dupremier genre sont donc celles dont l’équa-tion monte á deux dimensions; dans celles dusecond genre , l’équation monte à trois di-mensions ; à quatre, dans celles du troi-sième genre, Ùc.

Par exemple , l’équation d’un cercle esty 1 = 2 a x <—‘ x x ou y 1 — a 1 •— x 2 ; lecercle est donc une courbe du premier genre& une ligne du second ordre.

De même la courbe , dont l’équation esta x = y 2 , est une courbe du premier genre;& celle qui a pour équation a 2 x =;y3 , estcourbe du second genre & ligne du troisièmeordre.

Sur les différentes courbes du premiergenre & leurs propriétés , vaye\ Sectionsconiques au mot Conique.

On a vu à cet article Conique , quelleest l’équation la plus générale des lignes dusecond ordre , & on trouve que cette équa-tion a 3 —{— 2 —f— 1 termes ; on trouverade même que l’équation la plus générale deslignes du troisième ordre est y s —j— a xy 2 -—s— b x xy H— c —j— e y 2 —j— f x y -st—gx x -st- h x -st— i y -st— Z = o , & ciu’elle a4 -st— 3 -st— 2 -st— 1 termes , c’est-à-dire10 ; en général, l’équation la plus com-posée de Tordre n , aura un nombre de ter-mes , — («—}—2) X * c’est-à-

dire , à la somme d’une progression arith-métique , dont n -st- 1 est le premier terme& 1 le dernier. Voye\ Progressionarithmétique.

11 est clair qu’une droite ne peut jamaisrencontrer une ligne du n e ordre qu’en npoints tout au plus ; car quelque transfor-mation qu’on donne aux axes , l’ordonnéen’aura jamais que n valeurs réelles tout auplus, puisque.l’équation ne peut être quedu degré n. On peut voir dans l’ouvrage deM. Cramer, déjà cité , plusieurs autres pro-positions , auxqueîles nous renvoyons, suc