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le nombre des points , où les lignes de dif-férons ordres ou dn même ordre peuvent secoiíper. Nous dirons seulement que l’éqna-tion d’une courbe du degré n étant ordon-née , par exemple , par rapport à y ; ensorte que y H n’ait pour coefficient que bo-nite ; cette équation aura autant de coeffi-ciens qu'iî y a de termes , moins un , c’est-

à-dire , . Donc si on donne un pa-

reil nombre de points, la courbe du n° or-dre qui doit paster par ces points fera faci-lement déterminable ; car en prenant un axequelconque à volonté, & menant des pointsdonnés des ordonnées à cet axe , on aura

—-— ordonnées connues , ainii que les

abscisses correspondantes , & par consé-quent on pourra former autant d’équations ,dont les inconnues seront les coefficiens del'équation générale. Ces équations ne don-neront jamais que des valeurs linéaires pourles coefficiens, qu’on pourra par conséquenttrouver toujours facilement.

Au reste , il peut arriver que quelques-uns des coefficiens soient indéterminés, an--quel cas on pourra faire passer plusieurs li-gnes du même ordre par les points donnés ;ou que les points donnés soient tels que lacourbe n’y puisse passer, pour lors î'équationfera réductible en plusieurs autres rationnel-les. Par exemple , qu’on propose de fairepasser une section conique par cinq points

donnés ( car n étant = z , ——— est5 ) : il est visible que si trois de ces pointsfont en ligne droite , la section n’y pourrapaslbr ; car une section conique ne peut ja-mais être coupée qu’en deux points par uneligne droite , puisque son équation n’est ja-mais que de deux dimensions. Qu’arrivera-t-íl donc ? l’équation fera réductible cndeux du premier degré ,. qui représenterontnon une section conique , mais le systèmede deux lignes droites , & ainsi des autres.

On peut remarquer auffi que si quelquescoefficiens se trouvent infinis, l’équationfe simplifie ; car les autres coefficiens fontnuls par rapport à ceux-là , & on doit parconséquent effacer les termes où fe trouventces coefficiens nuls.

M- Newton a fait fur les courbes du fe* !

C ° U

: coud genre un traité intitulé, Eniïmeratíolinearum tevtii orclinis. Les démonstrationsdes différentes propositions de ce traité , setrouvent, pour la plupart, dans les ouvra-ges de MM. Stirling & Maclaurin fur lescourbes , & dans les autres ouvrages dontnous avons déjà parlé. Nous allons rapportersommairement quelques-uns des principauxarticles de l’ouvrage de M. Newton. Cet au-teur remarque que les courbes du second genre& des genres plus élevés, ont des propriétésanalogues à celles des courbes du premiergenre : par exemple , les sections coniquesont des diamètres & des axes ; les lignes queces diamètres coupent en deux parties éga-les sont appellées ordonnées, i & le pointde la courbe où passe le diamètre est nommésommet ; de même si dans une courbe dusecond genre on tire deux lignes droites pa-rallèles qui rencontrent la courbe en troispoints , une ligne droite qui coupera cesparallèles, de maniéré que la somme desdeux parties comprises entre la sécante & lacourbe d’un même côté, soit égale à l’autrapartie comprise entre la sécante & la courbe,coupera , suivant la même loi, toutes lesautres lignes qu’on pourra mener parallèle?ment aux deux premières, & qui seront ter-minées à la courbe , c’est-à-dire , les cou-pera de maniéré que la somme des deux par-ties d’un même côté fera égale à l’autre partie.

En effet, ayant ordonné l’équation demaniéré que y 3 fans coefficient soit aupremier terme , le second terme sera y r( a -4- b x ) , & ce second terme contien-dra la somme des racines, c’est-à-dire desvaleurs de y. Voye\ Equation. Or , parl’hypothese , il y a deux valeurs de x quirendent ce second terme o , puisqu’il ya deux valeurs de x ( hyp . ) qui donnent lasomme des ordonnées positives, égale à lasomme des négatives. Donc il y a deuxvaleurs de x savoir A & B , qui donnentct —■i— b A o , cl —|— S b —- o. Or celane peut être , à moins qu’en général onn’ait- a = o, b = o. Donc a —|— b xx=, o,quelque valeur qu’on suppose à x. Donc le le-çon d terme manque dans l’équarion. Donc lasomme des ordonnées positives est par-toutégale à la somme des ordonhées négatives.

On peut étendre ce théorème aux degrésplus élevés. Par exemple, dans le quatrième