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Nous avons dit plus haut que dans uneligne courbe d’un genre quelconque, onpeut toujours imaginer Taxe tellement pla-cé , que la somme des ordonnées d’une partsoit égale à la somme des ordonnées dePautre. L’axe en ce cas s’appelle ordinaire-ment diamètre. 11 est évident que toutecourbe en a une infinité ; car ayant trans-formé les axes d’une maniéré quelconque ,on peut toujours supposer cette transforma-tion telle que le second terme de la trans-formée manque , & en ce cas P un des axesfera diamètre.

On appelle diamètre absolu celui quidivise les ordonnées en deux également ;tels font ceux des sections coniques.

M. de Brageíongne appelle contre-dia-metre un axe des abscistòs , tel que lesabscisses opposées égales ; c’est-à-dire , telque x négative donne y négative , fanschanger d’ailleurs de valeur.

Ceci nous conduit naturellement à parlerdes centres , dont nous avons déjà dit unmot plus haut. Pour qu’une courbe ait uncentre , il faut qu’en supposant l’origineplacée dans ce centre , & prenant deux xopposées & égales, les y correspondantessoient aussi opposées & égales ; c’est-à-dire,il faut que faisant x négative dansl’équation,on trouve pour y la même valeur, maisnégative. L’équation doit donc être tellepar rapport à x & à y , qu’en changeant lessignes de x & dey , elle demeure absolu-ment la mêmej donc cette équation ne doitcontenir que des puissances ou des dimen-sions impaires de x & dey , fans terme cons-tant , ou des puissances & des dimensionspaires de x & de y , avec ou fans termeconstant. Car dans le premier cas, tous lessignes changeront, en faisant x & y néga-tives , ce qui est la même chose que si aucunsigne ne changeoit ; & dans le second casaucun signe ne changera. Voulez-vous doncsavoir si une courbe a un centre ? Inéquationétant ordonnée par rapport á x & à y ,imaginez que l’origine soit transportée dansce centre, en forte que l’on ait x —f- a 3,y _q_ b = u ; & déterminez a & b k êtretelles , qu’il ne reste plus dans la transfor-mée que des dimensions paires, ou desdimensions impaires fans terme constant ,•si la courbe a un centre possible, vous trou-

c O U

verez pour a & b des valeurs réelles. Dansl’extrait du livre de M. l’abbé de Gua, jour-nal des Savans , Mai , extrait dont

je fuis fauteur, on a remarqué que l’énoncéde la méthode de cet habile géometr.,pourdéterminer les centres, étoit un peu trot»générale.

Nous ne nous étendrons pas ici fur lesmaniérés de déterminer les différentes bran-ches des courbes ; nous renverrons fur cessijet au livre de M, Cramer , qui a pourtitre , Introduction à Vanalyse des lignescourbes. Nous dirons seulement ici que ceproblème dépend de la connoistànce desséries & de la réglé du parallélogramme,dont nous parlerons en leur lieu. Voye\Parallélogramme , Série , ùc.

Division des courbes en dijf’érens ordres.Nous avons vu à l ’article CONIQUE , com-ment f équation générale des sections coni-ques ou lignes du second ordre donne troiscourbes différentes. Voye\ le troisième vol.p. 8]8 , col. i re ; nous remarquerons seu-lement ici, i°. qu’il faut •—D u u,aulieu deD u u\ c’est une faute d’impression : 2°. quelorsque D est négatif, & par conséquent— D uu positif, alors l’équation primitive& générale y y —p x y —f— b x x —j— qy c x -f- a — o est telle que la portiony y "4— P -> y —1— b x x a ses deux facteursimaginaires, c’est-à-dire que cette portiony y —t— p xy b xx supposé égale à zerone donneroit aucune racine réelle. On peutaisément s’en assurer par le calcul ; car enp P

ce cas on trouvera — < b , & la quantité

JÍ dans la transformée 3 \ —f- JLxx —{— Bx —C =* o fera positive , & par consé-quent—• D positive : 3°. dans l’équation \ \'— 1 D u u —j— F u —j— G = o , on peutréduire les trois termes -— D u u —j— F u-j- G à deux -j— K t t -+- H , lorsqueD n’est pas ~ o , par la même méthodequ’on employé pour faire évanouir le secondterme d’une équation du second degré j

F

c’est-à-dire en faisant u — — = t , & alors

l’équation fera 3 \ -f- K t t -+- H = o ;équation à l’ellipse , si K est positif ; & àl’hyperbole, si K est négatif: 4 0 . si D = o fen ce cas on fera F u —j— G = k t , & l’é-quation sera 1 3 -j— k t — 0 , qui est à 1»