cou

parabole : dans le cas où Z)— o p y y

.[ p x y '—\— bxy a ses deux facteurs egaux;& dans le cas où D est positif, c’est-à-direoù —* D u u est négatif ,n + prjH-hy y a ses deux facteurs rcels k inégaux, &l’cquation appartient à Phyperbole , car en

ee cas — > b , k A est négative. Voye\

far cela , si vous le jugez à propos , Jefeptieme livre des sections coniques deM. de l’Hôpital, qui traite des lieux géo-métriques 5 vous y verrez comment 1 équa-tion générale des sections coniques fe trans-forme en équation à la parabole , à l’ellipseeu à Phyperbole , suivant que y y P xy _f_ b «estun quarté , ou une quantitécomposée de facteurs imaginaires , ou defacteurs réels inégaux. Passons maintenantLux lignes du troisième ordre ou courbes dusecond genre.

Réductions des courbes du second genre.M. Newton réduit toutes les courbes dusecond genre à quatre especes principalesreprésentées par quatre équations. Dans lapremiere , le rapport des ordonnées y auxabscisses x , est représenté par Péquation xy y —[— e y = U X 3 —j— b X X —|— C X —d; dans la seconde,Péquation a cette formex y =s a x i -p- b y y -p- c y —j— d j dansla troisième , Péquation est y y = a >c 5 -f-l x* —f- c x -p- d : enfin la quatrième apour équation y *= a x* -p- b x * -J— c x-p- c/.

Pour arriver à ces quatre équations , ilfaut d’abord prendre Péquation généralela plus composée des lignes du troisièmeordre , k P écrire ainsi :

í 5 -p- b u —P- c 3 u z -p- e uî-+~f\ l g \ u. -p- h u u-P- i\-+~lu—p- m

On remarquera que le plus haut rang-p- b\u 2 c u 3* -p- c us étant dutroisième degré, il aura au moins un facteurréel ; les deux autres étant , ou égaux en-tr’eux & inégaux au premier facteur,ou réelsk inégaux, tant entr’eux qu’avec le premierfacteur, ou imaginaires,ouenfinégauxau pre-mier. Soit 3 -p- A u ce facteur réel, Sc faisonsd’abord abstraction du cas où les trois fac-teurs font égaux ; soit supposé \ -p- AiitcaTome IX.

COU 769

t , on aura une transformée qui contiendratì , t 2 , r, t u u , u t c , r u , u u k u avecun terme constant ; or on fera d’abord dif-paroître le terme uu , en supposant t —p-i 7 = f; ensuite en faisant u Nf -p- p—P- Q ( les grandes lettres désignent icides coeíiiciens ),on feradifparoître les ter-mes u 11 & u r ; Ltil ne restera plus que destermes qui représenteront la premiere équa-tion xy y -f- ey = a x 5 —f— b x x -p- c x—1— d '—* o.

En second lieu , si les trois facteurs daplus haut rang font égaux , on n’aura dansí’équation transformée , en faisant 3 -p- Au= t , que les termes t i ,t 2 ,t,u í tu >u u, k un terme constant. Or on peut fairedifparoître les termes t u k u , en supposantu —p- R t -P- K = f , & l’on aura uneéquation de la forme y y — «x* -p- bx 2 -p- c x -p- d. Troisième forme de M.Newton. Nous remarquerons même quecette équation pourroit encore íê simplifier;car en supposant x — R -p- q , on feroitévanouir les termes b x x ou d , k quelque-fois le terme c x.

3 0 . Si les trois facteurs du premier rangfont égaux, &que de plus un de ces facteurssoit aussi facteur du second rang f 3 3 —f- g3 u h u u , alors la transformée aura destermes de cette forme r 3 ,r, t u T 11, u , kun terme constant. Or faisant t —j— R — q yon fera difparoître le terme u , & on auraune équation de cette forme x y = a x !—J— b x 2 —p- c x—P- d. Seconde forme deM. Newton. Cependant on pourroit encoresimplifier cette équation , k faire difparoî-tre les deux termes b x 5 —f- c x , en suppo-sant x =: Q p , & y = N p -p- R 3 -p- M.

4 0 . Enfin si les trois facteurs du premierrang étant égaux , ceux du second sont lesmêmes , l’équation alors n’aura que destermes de cette forme t 3 , 11 , u k t , avecun terme constant, & elle fera de la qua-trième forme de M. Newton , y — a xi-p- b xz -p- c x -p- d, de laquelle on peucencore faire difparoître les termes b x 2 —j—c x —p- d , en supposant x —p —p- R, ky -p- N x -p- Q = 3. En ce cas l’éq nationlera de la forme y ~ A x 3 , & représentera!a premiere parabole cubique. Voy. les usa-ges de Vanalyse deDescanes , par M* l’abbéde Gua , page 4J7 & fuìv.

E e S e T