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' On voít par ce détail sur quoi est fondéela division générale des lignes du troisièmeordre qu’a donné- M. Newton ; on voit deplus que les équations qu’il a données au-raient pu encore recevoir toutes une formeplus simple , à l’exception de la premiere.

Enumération des courbes du secouagenre. L’auteur subdivise ensuite ces quatreespeces principales en un grand nombred’autres particulières , à qui il donne diffé-rons nom s.

Le premier cas qui est celui de x y yex — a xi —f- b x l —j— c x —f- d —o, efcelui qui donne le plus grand nombre chsubdivisions ; les trois subdivisions princi-pales font que les deux autres racines du plushaut rang soient ou réelles & inégales , ouimaginaires, ou réelles & égales ; & cha-cune de ces subdivisions en produit encored’autres. V,T ouvrage de M. i’abbé de Gua,page 440 & sun’.

Loríqu’une hyperbole est toute entiereau-dedans des asymptotes, comme l’hyper-bole conique , M. Newton l’appelle hyper-bole inscrite : lorsqu’elle coupe chacune deses asymptotes , pour venir se placer exté-rieurement par rapport à chacune des par-ties coupées , il la nomme hyberbole cir-conscrite enfin Iorsqu’une de ses branchesest inscrite à son asymptote , & f autre cir-conscrite à la sienne , il l’appelle hyperboltambigene : celle dont les branches tendentdu même côté , il la nomme hyperbole con-vergente : celle dont les branches ont desdirections contraires, hyperbole divergente :celle dont les branches tournent leur conve-xité de différons côtés , hyperbole à bran-ches contraires : celle qui a un sommet con-cave vers l’asymptote , & des branches di-vergentes , hyperbole conchoïdale : celle quicoupe son asymptote avec des points d'in-flexion,^ qui s’étend vers deux côtes oppo-sés , hyperbole anguinée ou serpentante :celle qui coupe la branche conjuguée , cru-ciforme : celle qui retourne fur elle-même& se coupe , hyperbole à nœud : celle dontles deux parties concourent en un angle decontact & s’y terminent, hyperbole à pointeou à rebrousse ment : celle dont la conjuguéeest une ovale infiniment petite, c’est-à-dire , un point, hyperbole pointée ou à pointconjugué:celle qui par l’impostìbilité de deux.

COU

racines n’a ní ovale , ni point conjugué , nipoint de rebroustement, hyperbole pure ;l’auteur se sert dans le même sens des déno-minations de parabole convergente , diver~gente , cruciforme, Sic. borique le nom’ reles branches hyperboliques surpasse celuiles branches de l’hyperbole conique , ilippelle I’hvperboîe redundante.

M. Newton compte jusqu’\ foixave-douzerspeces inférieures de courbe du second gen-re: de ces courbes il y en aneusqui sont desnyperboles redondantes fans diam ètre, donc'es trois asymptotes forment un triangle.De ces hyperooles, la premiere en ren'ermecrois, une inscrite, une circonscrite, && une ambigene, avec une ova'e ; la secondeest à nœud , !a troifieme à pointe, la qua-trième pointée , la cinquième & la fixiemepures ; la septieme & la huitième cruci-formes , la neuvième anguinée.

II y a de plus douze hyperboles redon-dantes qui n’ont qu’un diamettre : la pre-miere a une ovale , la seconde est à nœud ,’a troifieme à pointe, la quatrième pointée,la cinquième , íìxieme , septieme & hui-tième , pures ; la neuvième & la dixiemecruciformes, la onzième & la douzièmeconchoïdales. II y a deux hyperboles redon-dantes qui ont trois diamètres,

II y a encore neuf hyperbo’es redondan-tes , dont les trois asymptotes convergenten un point commun : la premiere est for-mée de la cinquième & de la sixième hyper-bole redundante , dont les asymptotesrenferment un triangle ; la seconde de laseptieme & de la huitième ; ia troisième &la quatrième de la neuvieme ; la cinquièmeest formée de la huitième & de la septiemedes hyperboles redondantes, qui n’ont qu’undiamètre ; la sixième de la sixième & de laseptieme ; la septieme de la huitième & dela neuvieme j la huitième de la dixieme Stde la onzième j la neuvieme de la douzième& de la treizième. Tous ces changemensfefont en réduisant en un point le trianglecompris par les asymptotes.

11 y a encore six hyperboles défectivesfans diamètre : ia premiere a une ovale , laseconde est à noeud , la troisième à pointe ,la quatrième pointée,îa cinquième pure,&c.

11 y a sept hyperboles défectives.qui ont

des diamètres : ia premiere & ía seconde