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sont conchoïdales avec une ovale , la troi-sième est à nœud , la quatrième à pointe :c’est la cissoïde des anciens ; la cinquième& la sixième font pointées, la septièmepure.

II y a sept hyperboles paraboliques quiont des diamètres : la premiere ovale laseconde à nœud , la troisième á pointe , laquatrième pointée , la cinquième pure , lasixième cruciforme , la septième anguinée.

II y a quatre hyperboles paraboliques,quatre hyperbolismes de l’hyperbole , troishyperboîisines de Pellipse , deux hyperbolis-mes de la parabole.

Outre le trident , il y a encore cinq para-boles divergentes : la premiere aune ovale,la seconde est à nœud, la troisième pointée,la quatrième est à pointe ( cette derniereest la parabole de Neil, appellée commu-nément seconde parabole cubiques la cin-quième est pure. Enfin il y a une dernierecourbe appellée communément premiereparabole cubique. Remarquons ici que M.Stirling a déjà fait voir que M. Newton dansson énumération avoit oublié quatre especesparticulières , ce qui fait monter le nombredes courbes du second genre jusqu’à soixan-te-seize , & que M. l’abbé de Gua y en aencore ajouté deux autres, observant deplus que la division des lignes du troisièmeordre en especes,pourroit être beaucoup plusnombreuse , si on affignoit à ces différentesespeces des caractères distinctifs, autres queceux que M. Newton leur donne.

On peut voir dansl’ouvrage de M. New-ton , & dans l’endroit cité du livre de M.P abbé de Gua , ainsi que dans M. Stirling ,les subdivisions détaillées des courbes dutroisième ordre , qu’il seroit trop long &inutile de donner dans un dictionnaire. Maisnous ne pouvons nous dispenser de remarquerque les principes fur lesquels ces divisionsfont fondées, font aísez arbitraires ; &qu’en suivant un autre plan , on pourroitformer d’autres divisions des lignes du troi-sième ordre. On pourroit, par exemple ,comme M M. Euîer & Cramer , distinguerd’abord quatre cas générSs^ : celui où leplus haut rang n’a qu’une racirîfe réelle , ce-lui où elles font toutes trois réelles & iné-gales , celui où deux font égales , celui où«rois font égales, & subdiviser ensuite ces

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cas. Cette division générale parolt d’au-tant plus juste & plus naturelle, qu'élisseroit parfaitement analogue à celle deslignes du second ordre ou sections coniques,dans laquelle on trouve Peîlipsc pour le casoù le plus haut rang a ses deux racines ima-ginaires ; Phyperbolc, pour le cas où le plushaut rang a ses racines réelles & inégales ,& la parabole pour le cas où elles font éga-les. Au reste , il faut encore remarquer quetoutes les subdivisions de ces quatre cas , &même la division générale , auront toujoursde Parbitraire. Cela sc volt même dans ladivision des lignes du second ordre. Car onpourroit à la rigueur , par exemple , regar-der la parabole comme une efpece d’elìipsedont l’axe est infini ( V. Parabole )ne faire que deux divisions pour les sectionsconiques ; & on pourroit même n’en fairequ’une , en regardant l’hyperbole commeune ellipse , telle que dans {'équation j/j/=3a a' — x x, le quarté de Pabfciíse x x ait lesigne —f-. II semble qu’en géométrie com-me en physique, la division en genres & enespeces ait toujours nécessairement quelquechose d’arbitraire ; c’est que dans Pune &dans P autre il n’y a réellement que des indi-vidus , & que les genres n’exiftent que parabstraction de l’efprit.

M. Cramer trouve quatorze genres decourbes dans le troisième ordre, & M.Enferseize , ce qui prouve encore Parbitraire des,subdivisions.

On peut par une méthode semblable fairela division des courbes d’un genre supérieur.Voye\ ce que M. Cramer a fait par rapportaux lignes du quatrième ordre dans le chap*,jx de son ouvrage.

Poùr rappeller à Pune des quatre formesde M. Newton une ligne quelconque dutroisième ordre , dontl’équadon est donnéeen ^ & en u , on transformera d’abord lesaxes de la maniéré la plus générale , en sup-posant b u -f- C ík y ~ D

x E u —j— F ■ substituant ensuite cesvaleurs , on déterminera les coefficiens A ,B, àc. à être tels, que P équation enx&eny ait une des quatre formes susdites.

Points singuliers & multiples des courbes ;On appelle point multiple d’une courbecelui qui est commun à plusieurs branchesqui se coupent en ce point, & par oppose»E § e§e L