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tion point simple ,celui qui n’appartient qu’àune branche. II est visible qu’au point mul-tiple Pordonnée y a plusieurs valeurs égalesrépondantes à un même x. C’est-là une pro-priété du point multiple mais il ne fautpas croire que le point soit multiple , toutesles fois que Pordonnée a plusieurs valeurségales. Car , si une ordonnée touche lacourbe , par exemple , il est aisé de voir quePordonnée a dans ce point deux valeurs éga-les , fans que le point soit double. Voye\Tangente. La propriété du point multi-ple, c’est que Pordonnée y a plusieurs valeurségales,quelque stucuion qu on lui donne,-aulieu que dans le point simple Pordonnée quipeut avoir plusieurs valeurs égales dans unecertaine situation , n’en a plus qu’une dèsque cette situation change , ce qui est évi-dent par la feule inspection d’un point mul-tiple & d’un point simple. Voye\ Point.

De-là il s’ensuit que si on transportePorigine en un point supposé multiple , enfaisant \ -f -A = x , u B = y , il fautqu’en supposant \ infiniment petit, on aitplusieurs valeurs nulles de u , quelque direc-tion qu’on lui donne. Ainsi pour trouver lespoints multiples , il n’y a qu’après avoirtransporté Porigine dans le point supposé ,donner une direction quelconque à Pordon-née , & voir si dans cette direction quel-conque Pordonnée aura plusieurs valeurségales àzero. Voye\ M. P abbé deGua, pag.88, & M. Cramer, pag. 4°<9<

On prouvera par ces principes, que lessections coniques ne peuvent avoir de pointsmultiples , ce qu’on savoit d’ailleurs. Onprouvera auffi que les courbes du troiliemeordre ne peuvent avoir de points triples ,úc. Mais cette proposition fe peut encoreprouver d’une maniéré plus simple en cetteforte. Imaginons que Pordonnée soit tan-gente d’une des branches , elle rencontreracette branche en deux points. Or si le pointest un point double , par exemple , Pordon-née rencontreroit donc la cour e en troispoints, ce qui ne peut être dans une sectionconique ; car jamais une droite ne peut larencontrer qu’en deux points , puisque sonéquation ne paíïe jamais le second degré ^& qu’ainsi quelque position qu’on donne aPordonnée , elle ne peut avoir jamais plusde deux valeurs. On prouvera de même

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qu’une tourbe du second genr; , ou signedu troisième ordre , ne peut avoir de pointtriple , parce que la courbe ne peut jamaisêtre coupée qu’en trois points par une lignedroite.

A P égard des points doubles des courbes ,nous avons déjà remarqué que les courbes dasecond genre peuvent être coupées en troispoints par une ligne droite. Or deux de cespoints le confondent quelquefois, comme ilarrive , par exemple , quand la ligne droitepasse par une ovale infiniment petite ; oupar le point de concours de deux partiesd’une courbe qui se rencontrent, & Munis-sent en une pointe. Quelquefois les lignesdroites ne coupent la courbe qu’en un point,comme il arrive aux ordonnées de la para-bole de Descartes, & de la premiere para-bole cubique ; en ce cas il faut concevoirque ces lignes droites passent par deux autrespoints de la courbe placés à une distance in-finie ou imaginaire. Deux de ces intersec-tions coïncidentes , faites à une distanceinfinie , ou même imaginaire , constituentune espece de point double.

On appelle points singuliers les pointssimples qui ont quelque propriété particu-lière , comme les points conjugués , lespoints d’intìexion , les points de serpente-ment, &c. Voye\ Point , Conjugué ,Inflexion», Seupentement , &c. V,auss Rebroussement , Nœud , &c.Sur les tangentes des courbes en général,& fur les tangentes des points multiples ,voye\ Tangente.

Description organique des courbes . i°. Sideux angles de grandeur donnée , P A D tP B D ( PI. de Geome't.sg. $3.) tournentautour de deux pôles A 8c B , donnés deposition, & que le point de concours P descôtés A P ,B P , décrive une ligne droite,le point de concours D des deux autres cô-tés décrira une section conique qui pasïerapar les pôles A & B , à moins que la lignene vienne à passer par l’un ou l’autre de*pôles A & B , ou que les angles B A D &AB D ne s’évanouissent à la fois ; auquelcas le point de concours décrira une lignedroite.

a.". Si le point de concours P des côtésA P , B P , décrit une section coniquepassant par P un des pôles A 3 le point ds