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concours D des deux autres côtés ,A D ,B D , décrira une courbe du second genrequi passera par Pautre pôle B ,, & qui auraun point double dans le premier pôle A ,à moins que les angles ,B A D , AB D ,ne s’évanouissent à la fois ; auquel cas lepoint D décrira une autre section coniquequi pasièra par le pôle A.

2°. Si la section conique décrite par lepoint P ne passe , ni par A ni par B , lepoint D décrira une courbe du second ou duíroisieme genre , qui aura un point double ;& ce point double se trouvera dans le con-cours des côtés décrivans A D , B D ,quand les deux angles B A P , A B P ,s’évanouissent à la fois. La courbe décriteiëra du second genre , quand les anglesB A D , AB D , s’évanouiront à la fois,sinon elle fera du troisième genre , & auradeux points doubles en A & en B.

Les démonstrations de ces propositions ,qu’il seroit trop long de donner ici, se trou-veront dans l’ouvrage de M. Maclaurin ,qui a pour titre Geometria organica , où ildonne des méthodes pour tracer des cour-bes géométriques par un mouvement con-tinu. V. aujjl le VIII livre des sectionsioniques de M. de PHópital.

Génération des courbes du second genrefar les ombres. Si les ombres des courbesde différens genres font projetées fur un

£ lan infini, éclairé par un point lumineux ,:s ombres des sections coniques seront dessections coniques ; celles des courbes du se-cond genre seront des courbes du secondgenre; celles des courbes du troisième genrefcront des courbes du troisième genre , &c.

Et comme la projection du cercle en-gendre toutes les sections coniques, demême la projection des cinq paraboles di-vergentes engendre toutes les autres cour-bes du second genre ; & il peut y avoir demême dans chaque autre genre une fuite detourbes simples , dont la projection fur unplan éclairé par un point lumineux , en-gendre toutes les autres courbes du mêmegenre. MM. Nicole & Clairaut, dans lesmémoires, de l’acad. de z 75z , ont dé-montré la propriété des cinq paraboles di-vergentes dont nous venons de parler ; pro-priété que M. Newton n’avoit tait qu’énon-®er fans démonstration. V. aussi fur cette

r . „ C ° u ,773

proposition l ouvrage cité áe M. "abbé deGua,p. r§§ &suiv. Voyez ausji Om Bre.

Usage des courbes pour la confirucliondes équations. L’usage principal des courbesdans la géométrie , est de donner par leurspoints d’intersection la solution des problè-mes. Voyei Construction.

Supposons, par exemple, qu’on ait âconstruire une équation de neuf dimen-sions , comme x 9 —j— b x 1 c x e -j- d x í-j— e x*— J— ( m — 1— /) x 1 gx 2 h-\~x -f- k~o , dans laquelle 5 , c , d , &c. si-gnifient des quantités quelconques données,affectées des signes —|— ou —, on prendral’équation à la parabole cubique x 5 ~y ; &mettant y pour x i dans la premiere équa-tion , elle se changera en y J -j- b xy 2 —j—cy —f- d x 2 y—si- e xy —f- m y -+- f x 1-j —gx 2 —f -hx -+- k — o, équation à uneautre courbe du second genre dans laquellem ou f peuvent être supposés — o. Si ondécrit chacune de ces courbes , leurs pointsd’intersection donneront les racines de l’é-quation proposée. II suffit de décrire unesois la parabole cubique. Si l’équation à cons-truire se réduit à 7 dimensions par le man-quement des termes h x&k , l'autre cour-be aura , en effaçant m , un point double àl’origine des abscisses , & pourra être dé-crite par différentes méthodes. Si l’équationest réduite à six dimensions par le manque-ment des trois termes gx 2 -+- h x -+- k ,l’autre courbe , en effaçant/, deviendra unesection conique ; & si par le manquementdes six derniprs termes l’équation est rédui-te à trois dimensions, on retombera dans laconstruction que Waîlis en a donnée par lemoyen d’une parabole cubique & d’une lignedroite. Voye\ Construction &/’ ouvra-ge de M. Cramer , chap. jv.

Courbe polygone. On appelle ainsiune courbe considérée,non comme rigoureu-sement courbe , mais comme un polygoned’une infinité de côtés. C’est ainsi que dansla géométrie de l’infinie on considéré lescourbes ; ce qui ne signifie autre chose , ri-goureusement parlant, sinon qu’une courbeest la limite des polygones, tant inscrits quecirconscrits. Voye\ Limite , Exhaus-tion , Infini , Différentiel , &c. ôcPolygone.

Il faut distinguer , quand on traite un*