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a donne un traité de 8es courbes à doublecourbure c’est le premier ouvrages qu il aitpublié.

Une courbe quelconque a double cour-bure étant supposée tracée ; on peut proje-ter cette courbe sur deux plans différensperpendiculaires I’un à s autre , & les pro-jections seront deux courbes ordinaires quiauront un axe commun & des ordonnées dif-férentes. U équation d’une de ces courbesfera, par exemple, en x & en y, Fautre en x&en Ainsi Féquation d’une courbe à dou-ble courbure fera composée de deux équa-tions à deux variables chacune, qui ont cha-cune une même variable commune. II est àremarquer que quand on a Féquation en x &en y , & Féquation en x & en \ , on peutavoir parles réglés connues ( Voye\ Equa-tion & Division ) une autre équation eny & en \ ; & ce fera Féquation d’unetroisième courbe qui est la projection de latourbe à double courbure fur un troisièmeplan perpendiculaire aux deux premiers.

On peut regarder , si l’on veut, une destourbes de projection , par exemple , cellequi a pour coordonnées x & q, comme l’axecurviligne de la courbe à double courbure.Si on veut avoir la tangente de cette der-niere courbe en un point quelconque , onmenera d’abord la tangente de la courbe deprojection au point correspondant, c’est-à-dire , au point qui est la projection de celuidont on demande la tangente ; & sur cettetangente prolongée, autant qu’il sera néces-

zds

faire,on prendra une partie =—d s, expri-

mant le petit arc de la courbe de projection:on a le rapport d e d s 'X d x par féquationde la courbe en x à en y f Voye \ TAN-GENTE 0 Différentiel ) ^ on a celuide d x à d\ par Féquation de la courbe en xz d s

& en Donc pourra toujours, être ex-

primé par une quantité finie, d’où lesdifférentielles disparokront. Une courbe àdouble courbure est algébrique, quand lesdeux courbes de projection le font : elle estméchanique quand l’une des courbes deprojection est méchanique, ou quand ellesle font toutes deux. Mais dans ce dernier cascnn’ea trouvera pas moins les tangentes ;

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car par Féquation différentielle des cour-bes de projection , on aura toujours la va-leur de d r en d x & celle de d c en d x.

Surfaces courbes Une surface courbe estreprésentée en géométrie par une équationà trois variables, par exemple , x , y & ^En effet, si on prend une ligne quelconqueau-dedans ou au-dehors de la surface courbepour la ligne des x , & qu’on imagine à cetteligne une infinité de plans perpendiculairesqui coupent la surface courbe , ces plans for-meront autant de courbes , dont Féquationfera en y & en \ , & dont le paramétré ferala distance variable x du plan coupant à l’o-rigine des x. Ainsi , \ \ = x x —y y , estFéquation d’un cône droit & rectangle, dontl’axe est la ligne des x. M. Descartes est lepremier qui ait déterminé les surfaces cour-íerpardes équations à trois variables,commeles lignes courbes par des équations à deux.

Une surface courbe est géométrique quandson équation est algébrique & exprimée entermes finis. Elle est méchanique quand sonéquation est différentielle & non algébri-que ,' dans ce cas. on peut représenter l’équa-tion de la surface courbe par d q = * d x-t- C d y y «t & £ étant des fonctions de x ,de y & de ç. Il s’emblc d’abord qu’on auracette surface courbe en menant à chaquepoint de la ligne des x un plan perpendicu-laire á cette ligne , & en traçant ensuite surce plan la courbe dont Féquation est d\' ! =-C d y , x étant regardée comme un paramé-tré constant, & d x étant supposée = o.Cette construction donneroit à la vérité unesurface courbe ; mais il faut que la surfacecourbe satisfasse encore à Féquation d \ =adx,y étant regardé comme constant ;

; c’est-à-dire , il faut que les sections de lésurface courbe , par un plan parallèle à la li-gne des x, soient représentées par l’équa-tionréq=«4 d x. Or cela ne peut avoirlieu que lorsqu’il y a une certaine conditionentre les quantités «e S ; condition que M.Fontaine de Facadémie des Sciences a dé-couvert le premier.. On trouvera aufli dan*les mémoires de Facadémie de Pétersbourg,tome Illy des recherches fur la ligne la pluscourte que l’on puifle tracer fur une surfacecourbe , entre deux points donnés. Sur unesurface plane , la ligne la plus courte est uneligne droite. Suc raie surface sphérique , la