CHAPITRE X. i57

ou cosAB = cosZsinZA sinZB-f- cosZA cosZB,

c’est-à-dire que dans un triangle sphérique quelconque , l e cosinus d’uncôté est égal au produit des sinus des deux autres côtés par le cosinus del’angle compris , plus le produit des cosinus de ces mêmes côtés.

9. Cette démonstration 11’est pas difficile; eu voilà une autre qui paraitencore plus aisée. Soit C le centre de la sphère (lig. q?>)> * a tan ~geute de Z A, CP sera la sécante; ZQ la tangente de ZB, CQ sera lasécante ; menez la droite PQ.

Le triangle PZQ donnera

PQ = ZP + ZQ*—. 2 ZP. ZQ cosZ = tang *ZA +. tang’ZB

— 2 tangZA tangZB cos Z.

Le triangle PCQ donnera

PQ = CP + CQ — aCP. CQ cos PCQ = séc 1 Z A + séc* ZB

— 2séc.ZAsécZB cosAB.

Car il est visible que l’arc de grand cercle AB est la mesure de l’angleACB = PCQ. Retranchez la première de ces équations de la seconde ,vous aurez

o = (séc a ZA— tang s ZA)+(séc 4 ZB—tang*ZB) — 2 sécZA sécZB cosAB

+ 3 tangZA tangZB cosZ

~ 2 — 2 sec Z A. sec ZB cosAB -f- 2tangZA tangZB cosZ,ou divisant par 2

0=1 — séc ZA sécZB cosAB-f- tangZA tangZB cosZ;

et multipliant par cosZA cosZB

o s= cos Z A cos ZB — cosAB -f- sin Z A sin ZB cos Z ;

et enfin

cos AB = cos Z sin Z A sinZB-f- cosZA cosZBcomme ci-dessus.

Ce théorème renferme toute la Trigonométrie sphérique, les autresrègles qu’on emploie à la solution des autres cas que l’on rencontredans la pratique, n’en sont véritablement que des corollaires.

10. Notre théorème est général pour un triangle quelconque, il peut

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