1 38 ASTRONOMIE.

se simplifier dans quelques circonstances. Supposons ZA = ZB, ou quele triangle soit isoscèle (fig. 74) > nous aurons

cosAB=cosZsin*ZA+cos*ZA = sîn s ZA-f-cos a ZA — 2sin î ZAsin 1 ^Z

c= 1 — 2 sin 1 ZA sin 1 Z ,

et 1—cosAB=2sin 1 iAB=2sin’^Z sin 1 ZA, d’oùsin|AB=sin§ ZsinZA.

Ainsi dans tout triangle isoscèle le sinus de la moitié de la base = sinusmoitié de l’angle au sommet par le sinus de l'un des côtés égaux.

11. Dans le triangle isoscèle AZB, menez l’arc Zi m qui divise en deuxl’angle AZB; nos deux triangles AZm, BZ m donnent par le théorèmefondamental (8).

cos/nA =: cosnzZA sin ZA sin Znz-{- cosZÀ cos Z/zz,cosznB = cosnzZB sinZB sin Z/m + cosZB cos Z/m.

Or, à cause de MZA = MZB, et de ZA = ZB, il est évident que lesseconds membres deviennent identiques. On aura donc costoA=cos/7zB;donc /?/A=/?/B ou /mA= 56 o°—///B, ce qui donnerait «2 A -f- ///B — 56 o°;ce qui est impossible. Donc mA = mb.

Ainsi dans le triangle isoscèle, l’arc qui divise en deux également Vangleau sommet^, divise aussi la base en deux parties égales.

12. Les mêmes triangles donnent

cosAZ = cosA/mZ sinZ m sin/z/A -j- cosZ/zz cos/mA,cosBZ = cosB/nZ sinZ/zz sinz/zB -f- cosZm cosz/zB;d’où l’on conclura

cos B/zzZ = cos A/zzZ ;et B/«Z = A/zzZ = go*.

Ainsi dans tout triangle isoscèle, l’arc qui coupe en deux également l’angleau sommet est perpendiculaire sur le milieu de la base , et réciproquement,car du point m on ne saurait élever deux arcs perpendiculaires sans qu’ilsne se confondent.

1 3 . Les mêmes triangles donnent encore

COsZ m = cosZA m sinZA sin Am -f- COS ZAcOsB/ 72 ,cos Z m = cosZB/z» sin ZB sin B m -f- cos ZB cos B m,

d’où ZA m — ZB/ra.

Doue dans tout triangle isoscèle les deux angles sur la base sont égaux: