ASTRONOMIE.
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Mettez pour-4x7 sa valeur i -f- cot 2 A' = coséc*A', pour siu s C"sa va-leur i — cos 2 C", vous aurez
CosA" = cosC" sinA sin A'-f-cosC" sin A cot 2 A'sin A'—cos A cos À'-j- cos A cos A' cos 2 C" — cos A' cosC" sin C" cotC'= cosC" sin A sin A' — cos A cos À'-f-cos A cos A' cos “(A
-f- cosC sin A cos A' cot A' — cosA' cosC" sinC" cotC'
COsA" = cosG" sinA sin A' — cosA cosA/ -f- cos A cos A' cos 2 C"
-f-cosA' cosC" (sinA cot A'—sinC" cot C')= cosC" sinA sinA'—cosA cosA'-)-cos A cos A'cos“C" 1— cos A'cosC" cosC" cosA J
cos A' = cos C" sin A sin A' — cos A cos A/ j
cosA = cosC sinA'sinA" — cosA/cosA" ) . (S)
cos A' = cos C' sin A" sin A — cos A" cosA )
C’est le quatrième et dernier théorème général.
Toute la trigonométrie est renfermée dans les quatre formules P, Q,R, S, elle était même toute entière dans la formule P, de laquelle nousavons déduit analytiquement toutes les autres.
Plusieurs auteurs ont ainsi déduit toutes les règles de la trigonométrie,
d un théorème fondamental. Bertrand de Genève , dans ses Développe-ments de la partie élémentaire des mathématiques 1778, paraît avoir étéle premier; Euler donna sur ce sujet un Mémoire en 1779. M. Lagrangele traita d’une autre manière dans le 6 e cahier de l’École Polytechnique ,plusieurs autres géomètres se sont occupés de ce même problème ;je l’ai résolu de plusieurs manières, entre lesquelles celle qu’on vientde voir me paraît la plus simple et la plus naturelle.
25 . Si l’on compare entre elles l’équation P et l’équation S
cosC"= cosA" sin C sin C'-f- cosC cosC'cosA" = cosC" sinA sinA'—cos A cosA'
ou —cos A"== — cosC" sinA sin A'-f-cosA cos A'.
On remarquera que tous les angles ont pris la place des cotes opposés,et réciproquement, que les cosinus sont devenus négatifs, tandis queles sinus sont demeurés positifs. Ainsi les deux formules deviendront
identiques si l’on suppose A"=i8o— C"; A—180 — C, et A'=n8o_C',
et réciproquement. On pourra donc substituer l’un de ces triangles àl'autre. Ce second triangle s’appelle supplémentaire.