CHAPITRE X.

i55

1 angle N a pour mesure

l’are FC AI = AF + CI — AC = 180“ — AC ;l’angle O a pour mesure

l’arc DABG = AG + DB — AB = 180° — AB.

74. Ainsi nos trois angles sont les supplémens des côtés du triangleprimitif.

Pareillement,

MN = MH + NI — III = 180*— IH — 180° — C,

NO = NF + OG— FG = 180°— FG = 180 0 —A,

OM ME -f- DO — DE = 180°— DE = 180° — B ;

les trois côtés du triangle polaire sont donc les supplémens des angles dutriangle donné.

75. Par le théorème fondamental, nous aurons

cos NO = cos M sin MN sinMO -f- cos MN cos MO,

ou

cos(i8o°~

-A)

= cos(i8o°

— BC

) sin (180 0 —

• C ) sin (180'

+ cos(i8o°

-C)

cos ( x8o°—

B),

ou

— cos

A =

= — cos BC

sin C

sin B —■

cos

C X —cos

et

= — cos BC

sin B

sin C 4*

cos

B cos C ,

cos

A =

= cos BC

sin B

sin C —

cos

B cos C,

et

cos

A" =

= cos C"

sin À

sin A' —

COS

B cos C ;

ce qui est précisément notre quatrième théorème (22), qui par là setrouve démontré d’une manière bien plus facile. Ce théorème a uneressemblance marquée avec le premier ; les côtés s’y trouvent changésen angles , et les angles en côtés. Le produit des cosinus a le signe — :c’est la seule différence entre les deux formules.

76. Ainsi, dès qu’on a démontré une formule pour le triangle ABC, onla porte dans le triangle supplémentaire ; et réduisant, on trouve uneformule nouvelle , ce qui diminue presque de moitié le travail desdémonstrations. Cependant, quand une formule est .symétrique pour lesangles et les côtés , il est inutile delà porter dans le triangle supplément1 • 20