CHAPITRE X. j 5 j

sîn G', sîn } (A^+À) et cos a | A' sont nécessairement positifs; ainsisin ~ (A ff —A) ou sin (C'— C) sont tous deux positifs o u tous deux négatifsà la fois.

Donc si A"> A, on aura C> C, et si A." < A, on aura C^Cet réci-proquement; d’où ce théorème général, que clans tout triangle sphériquele plus grand angle est opposé au plus grand côté, et réciproquement. LesAnciens démontraient, par une figure fort simple, la première partie decette proposition. Ils étaient un peu plus embarrassés pour l’autre.

87. sin A' cos C = sin A" cos A -f-cos A" sin A cos G' (85)sin A' cos C"= sin A cos A'-j- sin A" cos A cos G' (82)

sin A' (cos C -f- cos C") = sin (A ff +A) -f- sin (A"+A) cos G'sin A' cos \ (C"+C) cosl (C ff —C) = sin (A ff -(-A) cos“| C';

d’où il suit que (A"-f- A) >■ 180 0 si (C'-+-C) > 180°, à moins que (C'—C)ne soit aussi 180°.

88. Par soustraction on aura

sin À' (cos C — cos C") = sin (À"— À) — sin (À*—À) cos G'sin A' sin \ (C"—C) sin i (C"+C) = sin (A"—A) sin 2 \ C';

d’où résulte encore (A'—A) et (C"—C) de même signe, et le théo-»l’ème (86).

89. La formule (85), divisée parla formule (86), donne

cot’i A' cot|(A"—’A) cot i (A'+A) =ou si!r(G''+C) = tar, £* t A ' tan S » ( Â ~ A ) tan S ï ( A "+ A)

— Bin tCC"—C) ros 1 (G* — C)sin i (C"+ C) ’ cos ï CC"-t- C) '

90. La formule (87), divisée par la formule (88), donne de même

cot i (C’+C ) cot i (C-- C) = C0f| C',

el = col ‘ * c ' >™g i (C'+ C) teng f (C'-C)

_si ni (A"—A) cos-i (A*—A)

' sini(A"q-A) ’ cos (A"+À)'

91. Multipliez l e premier membre de la formule (89) par le second de