264 ASTRONOMIE.

Développemens en séries de quelques fonctions angulaires î

Si 6 . Dans ce qui précède nous avons fait usage de plusieurs formulesque nous n’avons point démontrées parce que la plupart d’entre elles sontfamilières au plus grand nombre de nos lecteurs. Néanmoins, comme lesprincipes en sont simples, nous allons donner ici les principales.

Si j. Soit x un arc, son sinus sera une certaine fonction de cet arc etune fonction telle, qu’elle changera de signe sans changer de grandeurlorsque l’arc, sans changer de grandeur, changera de signe, puisqu’onsait que sin — x =— sinx; par conséquent le développement du sinusen fonction de l’arc ne contiendra que des puissances impaires de cet arc.Si donc on représente les coefficiens des puissances impaires de ocpar A, B, G, on aura

sin x = Ax + Bx 3 -f- Cx 5 -J- Dx 7 -J- etc. (i)

Si, dans cette égalité, on change æ en z on aura

sin z = A z -f- B z 3 -f- Cs 5 -f- Dz 7 -p- etc.,

retranchant la seconde de ces deux égalités de la première, on aura

sin x — sinz=A(x—z)+B(x 3 —z 3 )+C(x 5 — z 5 )- f-D(x 7 —z 7 )-j-ele.

Divisant par x— z etobservant que sinx—sinz== 2 sin|(x— z) cos|(x-(-z),on aura

a aîn t (a: z) cos ■*- (x + z) __ A (,r — z) -p B (pc 3 — z 3 ) + C (x 5 — z 5 ) + etc.x — z x — z

Substituant pour 2 sin 4 (x — z) sa valeur qui est égale à A(x—z)•4- 4 B ( x z ) 3 ~+" Tg B (x — z ) 5 + etc.; effectuant la division de chaquemembre par x — z et faisant après cette division z = x, on aura

A cosx = A -f- 3Bx 2 -f- 5Cx* -f- 7 DX 6 -j- etc. O),si dans cette formule on change x en z on aura

A cos z = A -f- SBz* -f- 5Cz 4 yDz 6 -f- etc.

Retranchant la seconde de ces deux égalités de la première, on aura en

observant