J284 ASTRONOMIE,

c’est encore ün cîe nos théorèmes ( X.29); mais ile'tait moins simple etmoins commode pour les Grecs qui n’avaient pas les tangentes. Ce pasfut fait par les Ai’abes qui divisèrent sin A par cos A et sin B' par cos B'.

C. Enfin par les triangles

MQR sin A : sin B" " sin Q : sin M

MNS sin B w : sin (A+B) :: sin M : sin S

PQS sin A 7 : sin A'" :: sin S : sin Q

et

sin A sin A" sin B"'= sin A'" sin B" sin (A+B)ou

sin A sin A " sin B"= sin A" sin B*

sin A sin A" cos A m = sin A'" cos A", et sin A tang  n = tang A%‘ou sin A cot B"= cot M, qui est encore un de nos théorèmes (X.5o).

7. Il est à remarquer que dans la supposition des angles droits R, N,S, et des quarts de cercles MN , MS, PN et PR, le triangle PQS est letriangle complémentaire de MQR. Ces deux triangles ne fournissent quequatre théorèmes ; pour avoir les deux autres, il faudrait former un troisièmetriangle comme dans la figure 81 : les Arabes ne s’en avisèrent pas plus queles Grecs. Ainsi ils ne pouvaient résoudre directement tous les cas destriangles rectangles. Ils calculaient d’abord une inconnue qu’ils joignaientaux données du problème, et s’en servaient ensuite à déterminer l’inconnuedont ils avaient besoin, faisant ainsi deux analogies où nous n’en avonsqu’une à calculer.

8. S’ils avaient connu l’usage des équations , ils auraient pu combinerles équations fournies par les quatre premiers théorèmes pour obtenirles deux autres.

Ainsi de sin A cos A';= sin A' cos A COsM , ils auraient tiré ——

7 cos A

e= cosM; ils auraient vu qu’on pouvait calculer des tables de

pour tout le quart de cercle, c’est-à-dire des tables des rapports des sinusaux cosinus, ou des cordes aux cordes des arcs supplémentaires.

De tang A = tang A' cos M, ils auraient conclu

tang B"~ tang A' cos Q= sin A tang M; (6)

cosQ=sin AtangM cot A'^sin A tang M cosMcot A = cos A sinM ^

c’est-à-dire le cinquième théorème,