CHAPITRE XII. 289

aussi en deux également. Nous avons trouvé cette proposition (X.17G)en construisant les analogies de Néper.

3 o. Une proposition que n’ont point démontrée ces auteurs, c’est queParc de grand cercle est le plus court chemin entre deux points donnésA et B sur une sphère, en supposant pourtant que l’arc de grand cerclene soit pas au-dessus de 180*, car dans ce cas il serait le plus long.

M. Cagnoli a démontré la première partie de cette proposition enexprimant l’arc de grand cercle et l’arc de petit cercle qui ont une cordecommune en fonction de cette corde et des rayons respectifs. Mais cettedémonstration n’est pas élémentaire.

On peut prouver que le centre du petit cercle est plus près de lacorde. En effet soient D et d les deux distances des centres au milieu dela corde, R et r les deux rayons, C la corde commune.

H s =R“— d*=r-—\ O; D*—ou D—i= (R + pquantité positive, donc D > d.

On en conclutet D — r/>R— r - C ar R + r> D + i.'

Il suit de là que la flèche de l’arc de petit cercle est plus grande quecelle de grand cercle. Soient F et / les deux flèches

F=R—D;/=r— cl-, donc/—F —r — d —R-f-D=(D— d) —(R—r) et/>F.

Ainsi 1 arc de petit cercle ramené dans un même plan embrasseraitl’arc de grand cercle qui s’y trouverait renfermé tout entier entre l’arcde petit cercle et la corde commune , ce qui se prouve d’ailleurs parl’expression analytique de la distance d’un point quelconque L de l’arcACB (fîg. IX 3 ) au ce ntre du petit cercle. Soit p cette distance

r* — p* — 4(D — d) R sin^BL sin| AL $

Le plus court chemin serait la corde, et comme on ne peut la suivre,'le plus court chemin est l’arc de grand cercle, puisqu’il s’éloigne moinsde la corde et que le détour est moindre.

Cette démonstration n’est pas encore assez rigoureuse.

Soit donc ADB (fîg. u3) l’arc de petit cercle sur la corde AB, P lepo e du petit cercle. Menez PA et PB, les angles PAD, PBD seront droits,petit cercle est parallèle à un grand cercle auquel tous les arcsmenés du pôle sont perpendiculaires.

I.

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