2 go ASTRONOMIE.

Menez l’arc de grand cercle ACB, le triangle sphérique PAB seraisoscèle et isogone, les angles PAB et PBA seront aigus; car cot PAB:= cos PA tang l APB (X. 27) — cos A tang-^ P.

Il est donc démontré que l’arc ACB s’élève au-dessus de ADB vers lepôle P.

D’ailleurs, abaissez l’arc perpendiculaire PCD, vous aureztang PC = tang PA cos ~ P , donc PC < PA.

Par le point D, menez les arcs de grand cercle AmD et D/B, ils s’élève-ront au-dessus de AD etDB vers le pôle P, mais moins que ACB; carpartagez le triangle isoscèle APD en deux triangles rectangles par laperpendiculaire P m , vous aurez tang P m = tang PA cos \ P. Orcos ^ P > cos -j P, donc tang P m tang PC. Ainsi les arcs A/nD etD/B s’approchent plus du petit cercle que ACB, Or AD -f- DB > ACB.

Après avoir divisé ADB en deux parties, divisez-le successivement en4 j 8, 16, 3a, etc. par des arcs perpendiculaires menés du pôle, et me-nez par tous les points de division des arcs de grands cercles, leurs dis-tances au pôle seront successivement

tang A = tang PA cos f P ; tang PA cos P; tang PA cos P.

Ainsi les arcs de grand cercle s’approchent de plus en plus de l’arc depetit cercle, et ne se confondront avec le petit cercle que quand on aura

tang A ;= tang PA cos Ç—'ÿ P = tang PAOU

cos Qr) P = I -

De cette manière vous aurez ACB < 2 AD ou ACB <2//; puis2 a<^ 4 a "> 4 a <iSa" ; Bd" < i6æ ,ÿ et ainsi de suite jusqu’à ce que

cos P = 1 ; alors les petits arcs seront des lignes droites qui se con-fondront avec leurs cordes, la somme de 2 n a w =ADB, mais 2"A" 5 7>ACD;donc ACD<;ADB.

La seconde partie de la proposition est un corollaire de la première.

Soit A l’arc du grand cercle C, a l’arc du petit cercle c.

^ ^ a ] donc A + c < a -f- C ;

G < C J

c — a < C —À.