CHAPITRE XXXVII. 6?5
sections du cône soient des cercles quand elles sont parallèles à la base, il ne sex-a pasdifficile de démontrer la seconde partie de la proposition.
Soit ABOD (fig. 129 ) un grand cercle quelconque d’une sphère, O le lieu de l’œil -,menez le diamètre OCA, et le diamètre BC.D perpendiculaii'e au premier, BCD serala projection orthographique d’un grand cercle perpendiculaire au rayon visuel OA : c’estsur le plan de ce cercle que l’on se propose de placer tous les cercles de la sphère, telsqu’ils y sont vus du point O. Le cercle BD est le plan de projection, le point C enest le centre, le point A en est le pôle-, la projection du point A sera en C , car c’estau point C que le rayon visuel OA traverse la projection.
11 . Soit P un point quelconque su r la circonférence OBAD ; prenez PE = PF, c’est-à-dire deux points également éloignés de P , et tirez la corde EF ; cette corde serala projection orthogi-aphique ou le diamètre d un cercle dont P sera le pôle. Il s’agitde trouver la projection de la corde EF; pour cela, menez les droites OE, OF , quicouperont en S et en T le plan de projection BD. 11 faut prouver maintenant que STsera le diamètre d’un cercle qui sera la projection du cercle décrit sur EF. Imaginezdu point O, des lignes qui aboutissent à tous les‘points du cercle EF, toutes ces lignesformeront un cône dont le cercle EF sera la base ; ce cône sera coupé par le plan deprojection -, et si la corde EF était parallèle à BD , ce qui aurait lieu si le point P seconfondait avec A , il n’y aurait nul doute que la projection ou la section du cône parBD ne fût un cercle. Mais, quelle que soit cette section, il est évident que ST euest la projection orthographique ;
l’angle FEO =iFO = { OD + i DF = 45° + *DF,
l'angle STO = ±BO+i DF = 45° + iDF ;
donc FEO = STO ,
l’angle EFO = i OBE = jj OB + { BE = 45 » + i BE,l’angle OST = 5 OB +1BE =45* + ;BE.
Donc EFO = OST ; donc les triangles EFO, OST sont semblables; cependant leursbases EF, ST ne sont pas parallèles ; elles sont sub-contraires Mais donnez un mou-vement de 18 o° au sommet du cône, OT deviendra OT / , et OS deviendra OS' ; alorsT'S' sera parallèle à EF, La section du cône par T'S' sera parallèle à la base ; ellesera un cercle dont le diamètre sera T’S’ ; donc la section par TS est aussi un cercledont le diamètre est TS. Ainsi tout cercle de la sphère, oblique ou non au rayonvisuel dirigé à son pôle , sera représenté sur la projection par un cercle.
xn. Menez au pôle le rayon CP, et par le point P la tangente E'PF'G qui aillecouper en G le plan de projection BD prolongé. Prolongez OE et OF jusqu’à la tan-gente en E' et F', la tangente E'F' sera parallèle à la corde; la partie E'F' aura pourprojection la ligne ST , PG aura pour projection la ligne KG : or l’angle OPG ou KPG= èODP — jjOD + ;DP = 45°-h- S DP; l’angle PKG a pour mesure j OB -j- 5 DP = 45 ®+ 1 DP ; donc KPG = PKG , donc KG = PG ; donc la tangente PG a pour projectionune ligne KG qui lui est égale.
i3. Les angles POE, POF sont égaux; donc la droite OP qui partage en deux