CHAPITRE XXXVII. 679

trouver les rayons des cercles intermédiaires, soit flF un de ces rayons,

FE = 7, F — srE = coséc 2 Ap — coséc 2 AP = coséc 2 AP coséc 2 APR — coséc 2 AP (form, 1 5 )= coséc 2 AP (coséc 2 APR — 1) = coséc 2 AP cot 1 APR ,

FE = coséc AP cot APR = —:.rrr-.(16).

sm AP ' '

Mais

donc

FE = 7 tE tang ErfF = coséc AP tangEsrF = coséc CP cot APR ;APR = 90° — EttF = ttFE. _

Donc pour avoir le rayon a-F, il suffit de mener une droite qui fasse avec 7 tE un angle— 90° APR, c’esr-â-dire de prendre ir<p = 2(90°—APR) = 180° — 2APR , et detirer la corde tti p , elle marquera sur "VEX le centre F du cercle à décrire.

22. Nous savons déjà que CF ou la distance des centres doit être tang A p , puisquewF est séc Ap ; mais nous pouvons- tirer cette valeur de notre construction

CF = CE -f- FE = cot 2 AP -f- coséc 2 AP cot 2 APR= cot 2 AP -f- coséc 2 AP (coséc 2 APR — t)

• — cot 2 AP -p coséc 2 AP coséc 2 APR — coséc 2 AP

r= séc 2 A p — (coséc 2 AP — cot 2 AP) = séc 2 A p — 1 = tang’Ap ;donc . CF = tang A p.

23 . Nous avons.trouvé (ai) EaF = go°— APR (fig. t 3 o et i 3 i). Soit (fig. i 3 i)PR'un autre cercle à projeter, nous aurons de même (fig. i3o),

-t Etj-Gt = 90°—APR', G étant le centre de cet autre cercle, et (fig. l 3 o)

F.ttG — EttF = (90° — APR') — (90° — APR) = APR — APR'= RPR'(lig. ,3,) ;

donc les rayons srG et ttF forment sur la projection l’angle RPR' que forment sur lasphère les deux cercles projetés. Les circonférences sont perpendiculaires à leurs rayons,et forment à leur intersection les mêmes angles que les rayons-, donc les projectionsde deux grands cercles quelconques formeront à leurs intersections les mêmes anglesque les grands cercles forment à la surface de la sphère. Mais deux cercles qui secoupent forment aussi les mêmes angles que leurs tangentes ; ces tangentes sont com-munes aux petits cercles qui passeraient par le même point ; d’où il suit que deuxcercles quelconques qui se coupent sous un certain angle à la surface de la sphère ,auront des projections qui se couperont sous le même angle : c’est la seconde propriétégénérale qui se trouve un corollaire de la première. Les anciens n ont point aperçu cetteconséquence qui résultait de toutes leurs constructions ; je n’ai pu découvrir à qui l’ondoit cette remarque, qui est au reste plus curieuse qu’utile. Nous en donnerons ci-aprèsune autre démonstration , qui ne ressemblera pas plus que la précédente à celle deRobertson, la seule que je connaisse.

24. On peut démontrer géométriquement les formules et les procédés que nous avonsdéduits analytiquement de nos formules (t et 2), et trouver des méthodes graphiquespour tous les problèmes que présente la description d un planisphère ou d’un astrolabe.