CHAPITRE XXXVII. 68 r
rallèles qui ont leur pôle en B et D sont perpendiculaires aux grands cercles qui passentpar ces mêmes pôles ; donc les projections forment encore ici le même angle que lescercles font sur la sphère : c’est encore un cas particulier du théorème général, que nousallons démontrer généralement.
28. Soit (fig. 1 34 ) O le lieu de l’œil, A le pôle de la projection, BDECB le plan deprojection, PD un arc de grand cercle qui a son origine en un point quelconque ducercle OBPE, Pt la tangente de PD ; Ct sera la sécante, S la projection de P. Menez St,le triangle rectiligne SCt donnera
St == CS + C t— 2CS. Ct. 003 SCt = tang’i AP + séc 2 PD — 2tang£ AP séc PD cos DE= tang 2 ± AP -f- tang 2 PD i — 2 tang; AP séc PD cos DE
= séc 2 i AP + tang'PD — 2 tang 5 AP séc PD cos DE.
Le triangle sphérique PDE rectangle en E donne
cos PD = cos PE cos DE = sin AP cos DE, séc PD :
donc
sin AP cos DE'
St = séc 2 ; AP -j- tang 2 PD ■
2 tang ; AP cos DEsin AP cos DE2 tang 5 AP
= séc 2 ; AP -J-tang 2 PD-
2 1 ° 2 sin ; AP cos ; AP
= séc 2 ; AP -f tang 2 PD — séc 2 ; AP = tang'PD,
St = tang PD = P t.
Donc la tangente Pt d’un arc de grand cercle terminé à la projection , a pour pro-jection une droite qui lui est égale. Soient (fig. 1 35 ) Pt et Pt' deux de Ces tangentes ,joignez-les par la ligne tt' qui sera toute dans le plan de projection ; soient St et Stfles projections de ces tangentes, les triangles tPt', tSt' seront parfaitement égaux, carils auront un côté commun et deux côtés respectivement égaux. Donc l’angle opposéau côté commun sera le même ; donc les tangentes de deux arcs quelconques de grandcercle terminés à la projection , auront pour projection des lignes qui leur seront égales,et qui formeront le même angle. Donc les deux cercles qui se coupent en P sur la sphère,formeront sur la projection un angle égal à celui qu ils forment sur la sphère, car aupoint d’intersection les élémens des arcs se confondent avec ceux de leurs tangentes ;donc tous les grands cercles se coupent sur la projection sous le meme angle que sur lasphère ; donc aussi tous les petits cercles, qui se couperont aux memes points et aurontpar conséquent des tangentes communes.
2g. Les principes démontrés ci-dessus de deux manières, suffisent pour tracer les pro-jections de tous les cercles de la sphère.
Supposons d’abord que l’œil soit au pôle austral de l’équateur, le plan de projectionsera l’équateur même, le centre de l’équateur représentera le pôle boréal; AP (fig. 12g )sera = O ; les projections des parallèles à l’équateur auront toutes pour centre communcelui de la projection', les rayons de ces cercles seront les tangentes des demi-distancespolaires.
3 .
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