198

In Mysterium Cosmographicum

fxonoir\rixoi. Cum autem sint pauci, causam habebunt etiam paucarum formarum.Breviter, non faciunt singula corpora singulos Xoysg, non anguli plani in solidoangulo, in planum extensi et cum 4 rectis comparati (quamvis perfecti Xoyoi hincetiam haberi possint) non plana owfiaTonoirjTixa, non implentia et struentia planitiemcontinuam, non quorum quadrata laterum sunt ad quadratum diametri, ut numerus adnumerum. Omnia haec perreptavi, nullum genus satisfacit ad talem constituendamdefinitionem, quae supradictos octo Xoyag complectatur, nec plures. Quid igitur tan-dem ? Dicam definitionem, postea intelliges. Ergo in divisione bipartita circuli velquatuor rectorum constituitur Xoyog regularis, respondens perfectioni corporum regu-larium, quoties et partes inter se et cum toto habent Xoyov alicujus figurae regularisdemonstrativae. Haec definitio. Nam sicut regularitas corporum per regularitatemplanorum definitur, sic Xoyog perfectus et, ut ita dicam, solidus, per Xoyovs simpliciterconsideratos. Dicam autem idem fortasse yewfxeTQixwreQov. Aoyog solidus existit,quoties et subtensa arcus est Xoyixrj ad diametrum, et arcus ad residuum Qtjrog eomodo et numero, quo arcus alius, subtensus Xoyixrj, ad circulum totum.

Hic jure principium quoddam est Xoyog aequalitatis, qui nequit demonstrari,nisi inepte, ut circulus totus subtensus puncto ad circulum se ipsum totum sub-tensum itidem puncto.

Sequitur Xoyog */ 2 - Nam ‘/ 2 circuli est subtensa diametro, quae est ad se ipsamXoyixTj, adeoque etiam Qt\rr), et t / 2 ad residuum ‘/2 QV r °v eo numero, quo totus antea adtotum, sc. ut 1 ad 1.

Tertio V 3 . Nam % circuli subtenditur latere trianguli Xoyixip ad diametrum, et% ad V 3 est ut antea circulus ad V 2 .

Quarto 3 /*. Nam subtenditur latere tetragonico Xoyixq), et 3 U est ad V« ut modoerat circulus ad 7s.

Quinto */5. Nam subtenditur latere quinquangulari Xoyixw imperfecte et 4 / 6 estad Vs ut modo erat circulus ad V 4 . Hic nescio, an id quod est demonstrabile rectedicam Xoyixov. Nam quadratum lateris quinquangularis scio irrationale dici, sedtamen geometrice demonstrari potest, itaque aliud illi nomen dare te magistro discam,interea vocetur Xoyixov, quod demonstrari geometrice potest. Sed patet hinc quoque,hunc Xoyov imperfectiorem esse, cum non sit lateris pentagonici quadratum ad quadra-tum diametri, ut numerus ad numerum; sed tamen duae potentiae et hujus lateris etsubtensae angulo junctae sunt ad potentiam diametri ut 5 ad 4.

Sexto %. Nam subtenditur latere sexangulari Xoyixw perfecte atque etiam qr\jwet 6 /g ad V« est ut modo circulus ad V 8 .

Septimo 3 /b. Nam subtenditur latere Xoytxit) imperfecte, sed cum latere pen-tagoni junctim Xoyixo) perfecte, ut loco quinto dixi; et 3 4 ad % est ut supra eratcirculus ad 2 U.

Octavo 5 /g. Nam subtenditur latere ^ Xoyixw imperfecte simpliciter, sed tamendemonstrabili, et 6 k ad 3 / 8 est ut modo circulus ad 3 / 6 .Hic omnium vilissimus est Xoyog, et tamen Xoyog, statenim in musica et consonat, sed valde dissolute. Haecpulchre videri possunt in apposita tabula. Nam ad-ditur numerator denominatori et fit novus duplex denomi-nator, cujus numeratores fiunt tam denominator prior quamnumerator. Inde patet, cur non eamus ulterius. Exemplicausa in 3 U , 3 et 4 sunt 7. At subtendens 3 h non est demonstrabilis. Quare nonpotest esse bonus Xoyog, si circulus in 3 et 4 dividatur. Sic etiam post Ve, seque-retur Vt, Vi, Vi, 5 A. Et post 4 4 sequeretur %, 5 / fl . At subtendens 4 / 9 non est demon-strabilis. Post 5 /b et 3 k sequeretur 5 / tt , 7tt, 3 /n, s /u, at subtendens tales arcus non estdemonstrabilis. Inde patet, cur 3 U, b !» faciat Xoyov, at non V», V». Nam etsi Vn sub-tensa demonstratur, latus nempe octogoni; tamen constituerentur in circulo partes 1, 7,quae non possunt transferri in totum 7 et ejus partem 1, 6, quia modo 'A rejecta fuit.

Hi sunt ergo logi solidi, si placet ipsös sic nominare, quia sicut tres ad minimumanguli concurrunt ad solidum, ita in musica fit ex his Xoyoig trium vocum harmonia