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II. §. 18. Ermittelung der wahrscheinlichsten Richtungen

die Beobachtungen der 4 Objecte wiederholt, so entstehen aus diesen Beob-achtungen zwei Gruppen von Gleichungen, wie:

1 2 . m

1 irO; x -j- A — a\ x -j- B~b

2 # — 0; x-\- A — d\ x — j- B zzl f) . I.

n

nx — 0; nx - j- nA z= (a -f- d -j- ....); nx -j- nß — (b -j- b' -f- ....)

Summirt man die letzten Gleichungen, so erhält man:

mnx — (a -j- d -f- .... -f- b -j- U -j- ....) — n (A -j- B)und hieraus folgt:

nx — C + ° / + "" + j - ± -^ ± ^Q —±{A + B) . 1.

m ist hier die Anzahl der beobachteten Objecte, und n die Zahl der Beob-achtungen in der Gruppe.

Die zweite Gruppe ist:

1 2 . mf

1 ^= 0 ; x'-f- A=a-, * + B=ß; C—y

2 x'^0; *' + A=cc‘; • B=ß>; a/+ C=/. II.

3 *'=0; a^-f- A—a ."; •z'-f £=,*"; •z'-f <7=/'

71* i : : :

n‘x‘ — 0; n'x 1 ~\-n , A—(a-\-u/-\-u/ l -\-.—)i rl ' x ' + n'B +■••■); n ‘x‘ -f- nUJ—(y -\-/...)

Setzt man in diesen letzten Gleichungen die Parenthesen der Reihenach ~ s, s", s", summirt dieselben, und eliminirt rix, so findet man

M = + + 0 .2.

Die Anzahl der Unbekannten x, x' _ ist so grofs, wie die Anzahl

der Gruppen, welche aus den Beobachtungen gebildet werden. Die gröfsteZahl der Gruppen bei m Objecten, ist aber gleich der Summe der Combina-tionen ohne Wiederholung zu 2, 3 bis m Objecten. Es geht hieraus hervor,dafs es für die Ausgleichung vortheilhaft ist, möglichst viele Objecte in einemSatz zu beobachten.

Die ganze Anzahl der unbekannten Gröfsen in beiden Gruppen istx, x, A, B, C. Die Zahl der Gleichungen beträgt aber in Gruppe I. Sechs;in Gruppe II. Zwölf, und kann durch die Anzahl der Beobachtungen nochbeliebig vermehrt werden. Diese Gleichungen sind daher nach der Methodeder kleinsten Quadrate zu behandeln.