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Erster Theil. Achtes Kapitel.

§ 129.

Man denke sich um den gemeinschaftlichen Anfangs-punkt beider Systeme mit einem beliebigen Halbmessereine Kugelfläche beschrieben. Werde diese von denAxen der x,y,% des ersten und zweiten Systems resp.in A„ B„ C, und A, B , C , und von p in P (Fig.41.)getroffen, so sind zu Folge des Erwiesenen die BögenPA, = PA, PB, = PB, PC, = PC, und daher diesphärischen Dreiecke B,PC„ C,PA„ A,PB, resp. gleichund ähnlich den Dreiecken BPC , CPA, APB. Hier-aus folgt leicht weiter, dass die drei Winkel A,PA,B,PB, C,PC einander gleich sind, und dass mithin daseine System durch blosse Drehung um die Gerade pum einen Winkel — A,PA— etc. mit dem andern zurDeckung gebracht werden kann.

Die Grösse dieses Winkels muss sich ebenfallsdurch a,... /' ausdrücken lassen. In der That hat manin dem sphärischen Dreiecke A,PA :cos A,A — cos PA, cos PA + sin PA, sin PA cos A,PA,

mithin, weil cos A,A = u, cos PA, = cos PA = cp, undwenn man den Cosinus von A,PA= etc. mit a bezeichnet:

(12) « = ?> s + (1 — 7> J ) o,

worin man nur noch, mittelst (6) und (10), q> durcha,...y" auszudrücken hat. Uin aber einen symmetri-schen Ausdruck für a zu erhalten, entwickle man sei-nen Werth auf gleiche Weise durch Betrachtung derDreiecke B,PB, C,PC, und es kommt:

1121 +( 1 — ^ 2 ) 0 '»

J ='V / * + (1 — ■V' 2 )®;

mithin wenn man diese zwei Gleichungen zu der vorigenaddirt, und mit Berücksichtigung von (11):

(13) a + /5 , + /'=l + 2<r.