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CALCUL

LEÇON SECONDE.

Sur le développement d’une Fonction d’une va-riable , lorsqu’on attribue un accroissement àcette variable. Loi générale de ce dévelop-pement. Origine des Fonctions dérivées. Dij-férens ordres de ces Fonctions. Leur notation.

Considérons une fonction fx d’une variable quelconque x.Si à la place de x on substitue x -f- i, i étant une quan-tité quelconque indéterminée, elle deviendra f (ar-f-i), etpar la théorie des séries on pourra la développer en unesuite de celte forme f x -f- ip -f- i’q -J- flr + , etc.; dans la-quelle les quantités p, q, r, etc., coefficiens des puissancesde i, seront de nouvelles fonctions de x, dérivées de la fonc-tion primitive fx, et indépendantes de la quantité i.

Il est clair que la forme des fonctions p, q, r, etc., dé-pendra uniquement de celle de la fonction donnée/.r ; et ondéterminera aisément ces fonctions, dans les cas particuliers,par les règles de l’algèbre ordinaire, en développant la fonc-tion dans une série ordonnée suivant les puissances de i.

Celte dérivation des fonctions est une opération d’algèbreplus générale que l’élévation aux. puissances , et l’extractiondes racines; et les principaux problèmes d’analyse, de géo-métrie et de mécanique en dépendent, comme on l’a mon-tré dans la Théorie des Fonctions analytiques.

Mais, pour ne rien avancer gratuitement, nous commence-