7 S CALCUL

coefficient, alors ce même radical reparaîtra nécessairementdans leâ fonctions dérivées /*x ,f"x > etc., et la formule géné-rale du développement de/(x-j-î) ne cessera pas d’êtreexacte dans ce cas.

Mais lorsque la fonction/îc au lieu d’être donnée d’une ma-nière explicite n’est déterminéeqwe par une équation où le ra-dical ne se trouve pas, la détermination de ses fonctions dé-rivées dans le cas dont il s’agit, pourra être sujette à des dif-ficultés qu’il est bon de prévenir.

Soit y—fie , et parconséquent, en prenant les fonctions dé-rivées, y' —f'x t y" —f“x, etc. Supposons que pour une va-leur donnée de x il disparaisse dans fx un radical , lequelne disparaisse pas dans fx-, il est clair que pour cettevaleur de ;r, la fonction f'x aura un plus grand nombre devaleurs différentes que la fonction/a', à raison du radical qui6e trouve dans fx, et qui a disparu de fx ; d’où il suit que lavaleur d* y' ne pourra pas être donnée par une simple fonctionde x et y qui ne contiendrait pas explicitement ce radical. Ce-pendant, si dans l’équation yz=fx on fait disparaître ce même"radical par l’élévation aux puissances, et que l’équatioa résul-tante soit représentée par

F(x,y') = o,l’équation dérivée de celle-ci donnera

F’jx)

F' 00 *

comme on l’a vu dans la leçon VI ; donc cette expressionsera en défaut, dans le cas où l’on donnerait à a: la valeureu question, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que lesquantités F' (x) et F' (y ) seront, l’une et l’autre, millesà-la-fois. Ainsi, dans le cas dont il s’agit, l’expression de_y fdeviendra égale à zéro divisé par zéro; et réciproquement,lorsque cela arrivera, ce sera une marque que la valeur cor-