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DU SECOND ORDRE.

La différence entre ces ordonnées supposées de même signesera positive ou négative, suivant le signe de L : par consé-quent, le cône sera intérieur à l’hyperboloïde, si L est po-sitif j extérieur, si L est négatif. Cette différence sera d’au-tant plus petite, que les valeurs des ordonnées z' z serontplus grandes : ainsi le cône approchera toujours de plus enplus de chacun des hyperboloïdes, sans pouvoir jamais lesatteindre.

267. Les hyperboloïdes ont encore plusieurs propriétésremarquables qui les rapprochent des surfaces coniques. Sil’on considère les hyperboles

Mz 2 — M'y 2 — M" « 2 + L = o,

qui sont données par les plans coupans perpendiculaires àl’axe des x, on voit qu’en supposant L positif, elles aurontleur second axe parallèle aux z tant que

— JW"« 2 + L

sera une quantité positive; elles se réduiront à des lignesdroites, quand cette quantité sera nulle, ce qui arrivera àl’extrémité de l’axe AC (fig. 102), et elles auront ensuite leurpremier axe parallèle à celui des z (fig. io 3 ). On peut suivrela même marche sur les hyperboles parallèles aux plans des11, et on trouvera également que le plan mené à l’extré-mité de l’axe AD, perpendiculairement à l’axe des y, ren-contre aussi la surface suivant deux lignes droites. Ceci estun cas particulier d’une propriété plus générale que nousdévelopperons par la suite.

268. Reprenons maintenant l’équation générale

Ma» + M'y 2 + M"x 2 + Hz y H'y + H"x = 0 (2).

Pour en déduire les surfaces dépourvues de centre, il fau-dra supposer quelqu’un des trois coefficiens M, M', M", égalà zéro : ces coefficiens ne peuvent cependant pas être toussupposés nuis à la fois , car alors la surface ne serait plusqu’un plan. 11 y aura donc en tout deux cas à examiner,