264 DES SURFACES

suivant qu'une seule ou deux d’entre les quantités MM'M"seront milles. Nous allons discuter ces deux cas, en suppo-sant que le terme M z 2 reste dans l’équation, le coefficientM étant positif. Il suffira de changer convenablement lesvariables ,ryi les unes dans les autres, pour en déduire lesrésultats qui auraient lieu, si M était égal à zéro.

Supposons d’abord M" nul, M' ne l’étant point : alors,d’après ce qui a été dit dans l’article 262, on pourra trans-porter les coordonnées parallèlement à elles-mêmes, demanière à rendre H et II' nuis. L’équation sera donc ré-duite à la forme

Mz 2 -f M'y 3 -f R" x — o.

Les sections parallèles aux plans des y z, des a: s et des xy,seront

M z 2 + M’y 2 + LF"* — oMz 2 + H" x -f M'$ 2 =oM' y 2 y H"x + M y *z=. o.

Les deux dernières, qui représentent des paraboles, seronttoujours réelles; les autres seront des ellipses ou des hy-perboles, selon que M et M seront de même signe ou designe contraire. Les sections principales de la surface aurontpour équations

Mz 2 Jf M'y 1 = 0 Mz 2 -f H"x— 0 M’y 2 4 ITx —q •

et, suivant le signe de M', la première se réduira à un point,ou représentera deux lignes droites.

Supposons d’abord M' positif, ainsi que M. Les sectionsparallèles au plan des yz ne seront réelles qu’autant que H"et a seront de signe contraire. La surface ne s’étendra doncque d’un seul côté du plan des y z ; savoir, du côté posi-tif, si H" est négatif ; de l’autre, s’il est positif : cette dis-position est représentée dans la figure 104; on y reconnaîtaisément l’ellipsoïde de la figure 100, dont deux section?.,principales sont devenues des paraboles.