Wärme.

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^*6 durch den Querschnitt x —(- dx in derselben Zeit abfliessende Wärme-tl ' e nge daher

. (dB , d 2 Q \

;

* der Umfang des Querschnittes und T die Temperatur der Umge-bung, so giebt die Oberfläche des Elementes des Stabes zwischen denQuerschnitten x und x -J- dx eine Wärmemenge in der Zeit dt ab,Welche wir hier gleich setzen mit

K sdx (d—T) dt . . . . . . . . (3)

Addirt man die beiden letzten abfliessenden Wärmemengen und2l eht ihre Summe von der ersten der zufliessenden ab, so bleibt die Zu-? a hrne der Wärmemenge, welche in dem Elemente von der Länge dxder betrachteten Zeit dt eintritt. Diese muss aber, wenn c die spe-<: >fischc Wärme des Stabes und d seine Dichte ist und wenn die Tem-P^tatur 0 der Schicht bei x in der Zeit dt um d 0 wächst, gleich

^ Idx cdd sein, oder man hat, wenn man mit dx dt dividirt:

• • • • ( 4 )

Für die Bestimmung der hier vorkommenden Grössen l und K^ a rtet man den Beharrungszustand ab, bei dem an jeder Stelle die®ttiperatur unabhängig von der Zeit geworden ist. Hierfür ist

r/2 ß ,12 ß

0 = Iq -4 — Ks (0 - T) oder ~=y 2 (d—T),dx * d x 2

V 2 für

Ks

Iq

gesetzt wurde.

Das allgemeine Integral dieser Gleichung istB—T=AeV* + Be-V*,

T und B die Integrationsconstanten und e die Basis der natürlichen°@ a rithmen ist.

Hat man für drei unter sich gleich weit abstehende Punkte bei* x;' x X ; x 2 X

8 0 -Temperaturen 0; 0'; 0",

' 3 t ganz abgesehen von den Temperaturen der beiden Endenö 4- 0" = AeY x (1 + e 2 Y i -) + B e~Y x (1 -f- e~ 2 Y x )

— Ae?<* + b e~Y*) + Be~Y< x + ^ (eZ* + e~Y x )

— 6' (eZ* + e~Z*.)

N

also

e y J, _|_ e — yX —

0 + 0 "0 '

(5)

also für mehrere Bestimmungen an demselben Stabe, für ein glei-. e l ne Constante sein muss. Dies dient zunächst zur Bestätigung10 den Ausdrücken (1 j und (3) liegenden Annahmen. Setzt man

K 1+0"

0 '

c, so hat man

V °fa Us

y = T ln (l + V T “ 0

man endlich das Verhältnissl s 1

( 6 )