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Wärme.
Es werde die eine Seite dieser Wand bei x = a auf der constanteöTemperatur 0 O erhalten, welches zugleich die anfängliche Temperatu rder Wand sei; die andere Seite, bei x — 0 werde nun mit einer Wä r "mequelle von der constanten Temperatur 0j -j- 0 O in Berührung g 6 'bracht; die Wärmemenge zu bestimmen, welche in einer bestimmt« 11Zeit durch die Flächeneinheit dieser Wand, diese normal auf der Dick 0a genommen, geht.
Ist zur Zeit t die Temperatur bei der Abscisse x gleich 0 -f -so giebt die Gleichung (3)
l d 2 0
At c dx 2
wenn man ß für setzt. Das Integral dieser Gleichung, welch 0 *
zugleich der Bedingung 0 — 0 für x = a unabhängig von T ® ot 'spricht, ist
a n x
2 . A sin
a
worin o jede ganze Zahl sein kann.
Endlich wird ein stationärer Zustand eintreten, für welchen & eDifferentialgleichung
wird, und also mit Rücksicht auf die beiden Temperaturen 6i 4 " ^für x — 0 und 0 O für x — a
fl. |
Damit auch diesem durch das Integral entsprochen wird, 80
man
a itx
2 A sin
a
a
was offenbar der gegebenen Differentialgleichung entspricht, und
hat man noch die Coefficienten A so zu bestimmen, dass für tauch 0 = o werde, unabhängig von x, also
2 A sin
a . a t'ol"
Dieser Gleichung entspricht man aber nach den bekannten c
a
mein über die Entwickelung in trigonometrischen Reihen durch
womit endlich
an x
a
wird.
Die Wärmemenge, welche in derZeit dt bei & = a durchcheneinheit aus der Wand austritt, ist
für x — a. Dies giebt, weil