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PREMIERE PARTIE.

Si le rayon OM s’élève vers la position OB, il est facile de voirque le sinus, la tangente et la sécante augmentent, tandis que lecosinus, la cotangente et la cosécante diminuent.

Lorsque le point M est au milieu de AB, l’arc AM est de 45°le triangle OPM est isoscèle, et le sinus est égal au cosinus. Or cetriangle donne 2MP 3 == r d’où MP=jrl/2 ; donc

sin45 0 =cos45° = ^ r[/2.

Les triangles OAT, OBS, étant aussi isoscèles et égaux entre eux,la tangente et la cotangente sont égales au rayon ; donc

tang 45°=cot 45° = r.

Enfin la sécante et la cosécante sont aussi égales ; et le triangleOAT donnant O'P = 2r* d’où OT = rl/ 2, on conclutsec 45° = coséc 45° = rl/ 2.

Quand le point M est venu en B, le sinus est égal à BO, la tan-gente et la sécante sont infinies, le cosinus MQ est nul, la cotan-gente BS est nulle aussi, et la cosécante OS devient égale à OB.On a donc

sin 90“ =/•, tang 90° = =o, séc 90 0 ==x>,cos 90°=0, cot 90° =0, coséc 90" = r,

Au reste, ces valeurs sont des conséquences de celles qui ont ététrouvées quand l’arc était nul : car les arcs 0 et 90° étant complé-ments l’un de l’autre, on doit avoir sin 90°=cos0, tang 90°=cot 0,séc 90°=coséc 0, cos 90°=sin 0, cot 90“=tang 0, coséc 90°=séc 0.

9. Le rayon OM continuant sa rotation, supposons-le arrivé enOM ' ; alors l’arc est AM', et son sinus est M P'. Menez M'M pa-rallèle à A'A, et construisez toutes les lignes trigonomélriqucs del’arc AM, ainsi que l’indique la figure. D’abord il est clair que lessinus MP et M'P' seront égaux; donc sin AM —sin AM.

Pour avoir la tangente, on est obligé de prolonger le rayonOM au-dessous du diamètre AA', d’où il résulte que cettetangente, qui est ici AT', se trouve dans une position opposéeà celle qu’elle avait d’abord ; par conséquent elle sera négative.Or les triangles égaux OAT, OAT' donnent AT—AT; donctang AM'=—tang AM.

D’après la définition (4), la sécante de l’arc AM' est OT'. Celteligne n’est plus dirigée sur le rayon OM ', du même côté du centre