TRIGONOMÉTRIE- 7
que le point décrivant M', mais elle est du côté opposé. Pour cetteraison elle doit être négqtive ; et comme d’ailleurs OT'=OT, ils’ensuit que séc AM——séc AM.
Le cosinus, la cotangente et la cosécante donnent lieu à des re-marques analogues. Puisque l’arc AM' surpasse 90°, son complé-ment est négatif; et, en outre, comme le cosinus QM' ou OP' setrouve à gauche du point O, on prendra aussi ce cosinus négati-vement. Même raisonnement à l’égard de la cotangente BS'. Quantà la cosécante OS', il n’y a pas lieu à l’affecter du signe — ; carelle est sur OM ', du même côté que le point décrivant, ainsi quecela avait lieu dans le premier quadrant. Les triangles OBS etOBS' étant égaux, on a QM'=QM, BS'=BS, OS'=OS ; donccos AM'=—cos AM, cot AM'=—cot AM, coséc AM'=coséc AM.
On appelle supplément d’un arc ou d’un angle ce qu’il faut luiajouter pour avoir 180°; donc A'M' ou son égal AM est le sup-plément de AM', et l’on peut énoncer les propriétés trouvées plushaut en disant que deux arcs supplémentaires ont leurs lignes tri-gonométriques égales et de signes contraires , à l’exception dusinus et de la cosécante , qui ne changent pas de signe.
Si on veut exprimer ces propriétés par des équations, on dési-gnera AM' par x •. alors on aura AM=A'M'=180 # — x, et ensuiteon pourra écrire
( sin x =sin(180"— x ), ( cos.z=—cos(180°— x ),
tang-r==—tang(180"— x ), | colx — —cot(180"— x),séc x ——séc (180°— x), ^ coséc.r = coséc(180”— x).
11 est d’ailleurs évident que, de 90° à 180°, le sinus, la tan-gente et la sécante diminuent ; et qu’au contraire, le cosinus, lacotangente et la cosécante augmentent. Quand OM coïncide aveOA', on a
sin 180°=0, tang 189° — 0, séc 180°=— r.
cos 180°=—r, cot 180°=—cx>, coséc 180°=»?.
Toutes ces valeurs peuvent se déduire des relations [1] en faisant-r=180". Par exemple, la relation cos x ——cos (180°— x) devientcos 180°=—cos 0 : or cos 0=r ; donc cos 180°=—r, ainsi que celadoit être.
10. Les applications de l’analyse à la géométrie conduisent fré-quemment à des arcs qui renferment plusieurs demi-circonférences.