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Il convient donc de donner encore des formules pour réduire ausstous ces arcs au premier quadrant. Afin d’abréger, nous considé-rerons spécialement le sinus et le cosinus, qui sont les lignes lesplus usitées; et comme tout arc plus grand que la demi-circonfé-rence se compose d’un arc moindre que 180", augmenté d’une ouplusieurs fois 180°, nous examinerons d’abord coque doivent êtrele sinus et le cosinus de l’arc 180"-|-x, x étant <180 ’.

Soit AM l’arc désigné par x , lequel peut être pris comme onvoudra entre 0 et 180" : en ajoutant à AM la demi-circonférenceMA'N', le nouvel arc AMA'JN' sera égal à 180“-f-x. Les deux arcsont des sinus égaux ; savoir, MP et N'P', ou, ce qui est la mêmechose, OQ etOQ' : mais comme ces lignes ont des-positions inverses,on doit, conformément à la convention établie (T), leur donner dessignes contraires. Les cosinus OP et OP' sont aussi égaux, et doi-vent aussi avoir des signes différents ; donc

(2] sin (180"-|-.r)——sin.r, cos (180"-)-x)= — cos x.

En second lieu, ajoutons 360° à AM, il est clair qu’on revientau même point M de la circonférence, et que par suite toutes leslignes trigonomélriques redeviennent les mêmes. Ainsi on a

[3] sin (360°-f-.r)x=sin x, cos (3fi0"-j-a-) =cos x.

En général, quelque grandeur qu’on suppose à l’arc .r, si onlui ajoute 180” ou un nombre impair de demi-circonférences, sonextrémité sc trouvera transportée du sommet d’un diamètre ausommet opposé ; et dès-lors il est évident que le sinus et le cosinus nefont que changer de signe. Mais si à x on ajoute 360" ou un nombrepair de demi-circonférences, comme on revient sur le même pointdu cercle, aucune ligue trigonométrique ne doit changer.

11. Il reste à parler des arcs négatifs, c’est-à-dire, de ceux quisont décrits lorsque le rayon, qui était d’abord couché sur OA, scmeut dans le sens AIÎ'A', contraire à celui qu’il a suivi d’abord.

Soient AM et AN deux arcs égaux et de situation inverse, dési-gnés para'et— x. 11 est évident que leurs sinus MP et NP sontaussi égaux et de situation inverse. Pour avoir les cosinus, on re-marque que les compléments 90° — x et 90° -j- x sont représentéspar les arcs BM et BMN, dont les sinus MO et NQ' sont égaux etsemblablement situés ; doue on a

[4J sin (— x)= —sin a, Cos (— x) — cos x ,