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Quoique dans la ligure les arcs AM et AN soient <90°, ces for-mules n’en sont pas moins générales. D’abord il est clair qu’enaugmentant les deux arcs autant qu’on voudra, pourvu qu’ils res-tent égaux, les sinus MP et NP ne cesseront pas d'étre égaux etopposés; donc on a toujours sin(— x) —— sin x. Quanta l’autreformule, supposons qu’on y mette des arcs >90'’, comme ABM' etAB N', par exemple ; puis, faisons x=ABM' et — x— —AB'JN'. Lecomplément 90'— x du premier arc est négatif et représenté Sur lafigure par l’arc BM', situé à gauche du point B, tandis que le com-plément 90°-f-.r du second arc est égal à BAN', et toujours à droitedu point B. Or les sinus M'Q et N'Q' de ces arcs complémentairessont égaux, et ont même situation à l’égard du diamètre BB' ; doncon a toujours cos (— x) — cos x. Ainsi les formules [4] ont toute lagénéralité désirable.

Il est bon de remarquer que le cosinus d’un arc quelconque, po-sitif ou négatif, est toujours représenté en grandeur et en situationpar la distance du centre au pied du sinus.

12.11 est bon de remarquer aussi, avant d aller plus loin, queles formules [1], [2], [3], [4], trouvées jusqu’à présent, peuvents’appliquer à tous les arcs possibles tant positifs que négatifs. Pourplus de brièveté je ne m’occuperai que du sinus et du cosinus.

1° Reprenons n° 9 les deux formules sin x — sin (180°— x) ,cos.r=—cos(180°— x), lesquelles n’ont été démontrées que pour lesarcs positifs compris entre 0 et 180°. En changeant x en 180°-|-.r,elles deviennent

sin (180°-(-x) = sin (— x) , cos (t80°-f-.r) = — cos (— x) :

égalités évidentes en vertu des relations [2] et [4]. Il est clair quel’arc peut encore être augmenté de 180°, et ainsi de suite jusqu’àl’infini. En mettant — x au lieu de x , on voit de la même manièreque les deux formules sont encore vraies : donc elles conviennentà tous les arcs possibles.

2° Les formules [2], qui ont été démontrées pour tous les arcspositifs, s’étendent aussi aux arcs négatifs. En effet, si on y changex en— x , elles deviennent

sin (180°— x) = — sin (— x) =sinx,cos ( 180° — x) —— cos ( — x) — — COS X ,et rentrent alors dans les formules [1],

3° Puisque l’addition de 180" à un are quelconque -f-.rou —x