1° PREMIÈRE PARTIE.'

ne fait que changer les signes du sinus et du cosinus, il s’ensuit que1 addition de 360° ne doit produire aucun changement ; par con-séquent les formules [3] conviennent aussi aux arcs négatifs.

4° Quant aux formules [4], elles ne donnent lieu à aucune dé-monstration ; car il est évident qu’on peut y remplacer x par — x,

13. Rien n’est plus facile maintenant que de ramener au premierquadrant les lignes trigonométriques de tel arc qu’on voudra. Soita:=1029 o un arc dont on demande le sinus. On en retranche 360°autant de fois que possible, et il reste 309° ; donc, d’après les for-mules^], sino7=sin309°. On ôte encore 180° de 309°, et, par lesformules [2], on a sin.r=—sinl29°. Enfin on prend le supplé-ment de 129°, qui est 51°, et il vient sin x =—sin 51° (9). Onpeut même encore pousser la réduction plus loin, car sin 51° =cos (90°—51) =cos39°; donc sin.r=—cos 39”.

Si l'arc donné était x =—1029°, le sinus serait de signe contraireau précédent (11), et l’on aurait sin jt = cos39°.

Sur les arcs qui répondent à un sin vs donné , ou à un cosinus, etc.

14. Les développements dans lesquels on vient d’entrer donnentlieu à cette remarque importante, qu’il existe une infinité d’arcsqui ont les mêmes lignes trigonométriques. Supposons qu'une deces lignes soit donnée, et cherchons les différents arcs qui lui cor-respondent.

Soit donné sin.r=a!. Sur le rayon 015 (fig. 1) perpendiculaireà OA, je porte OQ=a, et par le point Q je mène MM' parallèle àOA. Il est clair qu’on doit prendre pour valeurs de x tous les arcsterminés aux points M et M'. Je désigne l’arc AM par <*, et 180° parH ; AM' sera égal à H—a, et les arcs positifs terminés en M et M'seront compris dans les deux séries

a, 2H-|~«, 4H-j-a, 6II-}-a, etc.

H—a, 3H—a, 5H—a, 7H—a, etc.

On a AB'A'M=2I1—a et AB'A'M'=II-[-z. Ajoutons à ces arcsun nombre quelconque de circonférences, puis prenons négative-ment les arcs résultants : on aura ainsi tous les arcs négatifs qui ré-pondent au sinus donné ; savoir,

—2H-j-a, —4II-(-a, —61I-(-a, etc.

—11—a, —311—a, —5H—a, . etc.