TRIGONOMÉTRIE.

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et en substituant ces valeurs dans sin ( a-\-b ), etc., il vient

sin« cosi»-}-cos« sin£>r ’

cosæ cos b —sin a sin 6r ’

sin a cos b —cos a sin b_ ,

cos a cos b -(- sin a sin br

[1]

sin (a-{-&) =

[2]

cos (a -J- b) =

[3]

sin (a-

-b) =

M

cos (a-

-b)-

27. La figure dont on s’est servi semble attacher certaines restric-tions à ces formules -, car elle suppose que a et b sont des arcspositifs, que la somme a-\-b est < 90 ’,. et même que a surpasse bdans les formules relatives ha — b. A. la vérité on peut modifierfacilement les constructions pour les autres cas ; mais ces cas sontnombreux, et il serait peu commode de reconnaître par ce procédési les formules sont générales. Le suivant est préférable.

1° La restriction b peut être écartée des formules [3] et [4],En effet, quand a est moindre que b , on sait (11) qu’on asin ( a — b) = ■— sin (b — a) et cos {a — b) = cos (b — a).

Mais, b étant plus grand que a , on peut obtenir sin (b — a) etcos {b—a) par les formules [3] et [4], en y changeant a en b et ben a : or il est évident qu’alors la première change seulementde signe, tandis que la seconde reste la même; donc on aura en-core, pour sin (<z—6) et cos {a —6), les mêmes formules que dansle cas où a est plus grand que b. Ainsi, ces quatre formules ontlieu dans tous les cas où a et b sont positifs et font une sommea-\-b < 90 ° ; par conséquent il est permis d’y supposer à chacunde ces arcs telles valeurs qu’on voudra entre 0 et 45°.

2° Comme les formules relatives à la différence a—b peuventse déduire de celles qui expriment sin (a-\-b) et cos (a-f-6), enchangeant b en—Z», il s’ensuit que les formules [1] et [2] sont vraies* pour toutes les valeurs de a entre 0 et 45°, et pour toutes lesvaleurs de b entre—45° et +45°. Or je dis que ces mêmesformules conviennent aussi aux valeurs négatives de a , prisesde 0 à —45°.

Supposons que a soit <45°, et faisons a= —a, ou aurasin ( a-\-b ) = sin (— *-\-b) = — sin (a— b),

COS (Æ-)-Ù) =:C0S (—«-) -b) = cos(« — b).