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jLes arcs a et —b sont dans les limites pour lesquelles les formules[1] et [2] sont démontrées ; donc

sin (a-\-b )~—sin (y.—b) -

- sin « cos b -f- cos a sin b

cos (a-{-b) = COS(a— b)z

cosacos i-j-sinxsin b

Puisque a =—«, on a (11) sin a — — sin a , cos a = cos a ; et parsuite ces formules reviennent aux formules [1] et [2].

3" Maintenant démontrons qu’on peut, dans les formules [1]et [2], reculer indéfiniment les limites positives et négatives de aet b. Faisons «=90"-f-a, a étant un arc quelconque entre —45°et -(-45° : on aura, en prenant les compléments,

sin ( a-\-b)— sin (90° -j-a-f b) =cos (—a— b) — cos (a-}- b)

cos « cos b — sin a sin b

r

cos {a -f- b) — cos (90" -j- a -f -b) = sin (—a — b) — —. sin (a-f- b)

— sin «cosà— cosasin b

r

Mais, par des réductions connues on a

sin a = sin (90°-(-<*) = cos(—a) =cos a,cos a —cos (90°+a) — sin (—a) =—sin a;

donc on peut remplacer cos a par sin a , et sin a par — cos «, cequi ramène encore aux formules [1] et [2], Or, en prenant a entre—45° et + 45°, l’arc 90°-f-“, ou «, passe par toutes les grandeursdepuis 45° jusqu’à 135°; donc la limite positive de <zest reculéejusqu'à 135°. En répétant le même raisonnement, il est évidentque cette limite peut encore être reculée de 90" ; et àinsi de suite àl’infini.

La démonstration qui a été faite plus haut (2°), pour prouver queles formules [1] et [2] étant vraies pour les valeurs positives de amoindres que 45° le sont aussi pour les mêmes valeurs prises né-gativement, peut évidemment s’appliquer au cas où la limite posi-tive de a serait différente de 45°. Donc, puisqu’on vient de recon-naître qu’elles sont vraies pour toutes les valeurs positives de a ,elles le sont aussi pour toutes les valeurs négatives.

Quant à l’arc à, il est évident qu’il se prête aux mêmes raison-nements que «, et qu’on peut .aussi éloigner à l’infini chacune de