PREMIÈRE PARTIE.

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et le cosinus de la moitié d’un arc. Changeons a en ~ a dans lesformules [1] et [2], elles donneront

[5] 2 sin^ÆCOSï<z=sin a,

[6] cos a j«—sin' { a—cos a ;

et d’ailleurs on a aussi

[7] cos’+ sin’-^=1.

Si on donne cos a , il n’y a qu’à résoudre les équations [6] et [7].Or, en retranchant la première de la seconde, et ensuite en l’ajou-tant, il vient facilement

» /I—cosæ , *' /l+cos a

[8] sin— -, cos^=y/ - 2 —’

Telles sont donc lesformules qui serven t à calculer sin ^ a et cos { aquand on connaît cos a. Sur quoi il faut observer que le radical doitêtre considéré comme portant avec lui le signe ±.

La raison pour laquelle on obtient ainsi deux valeurs, égales etde signes opposés, pour chacune des inconnues sinj« et cos, a, estfacile à trouver. Remarquez d’abord que ce n’est pas l’arc a lui-même qui entre dans ces valeurs, mais seulement son cosinus ; desorte qu’elles doivent donner en même temps le sinus et le cosinusde la moitié de tous les arcs qui ont même cosinus. D’après le n° 15,ces arcs sont fournis par la formule

X=2/îH±a,

dans laquelle on désigne par <* le plus petit arc positif correspon-dant au cosinus donné, par H la demi-circonférence, et par k unnombre entier quelconque, positif ou négatif. On doit donc trouver,pour sin^« et cos^a, les valeurs comprises dans

sin(AHzhja) et cos(AH±i<*).

Si k est pair, AH sera un multiple de 360° ; on pourra le suppri-mer sans altérer ni le sinus ni le cosinus (10), et il viendra

sin(±ja) = zhsinja et cos (±j «) = cos j a.

Si k est impair, on supprimera encore Ali ; mais il faudra changerles signes du sinus et du cosinus (10) : on aura

—sin(±4 «)=:£: sin? à et — cos(±4a) = — cos