TRIGONOMÉTRIE. 23

On voit donc qu’on, devait avoir en effet deux valeurs égales et designes contraires pour sin j a ; et de même pour cos \ a.

32. Si on donnait le sinus au lieu du cosinus, il suffirait de

remplacer dans les formules [8] cos a par sa valeur V 1 —sin’ a ;et comme ce nouveau radical porte aussi avec lui le doublesigne ±, on aurait quatre valeurs pour chacune des inconnuessin f a et cos j a.

Mais on peut obtenir ces valeurs sous une autre forme. Repre-nons les équations [5] et [7]

2 sin (j a cosi#=sin«,cos a !«4- s i n ’T a — 1 ;

et tirons-en les valeurs de sin \a et cos \a. En ajoutant d’abordla première à la deuxième , et eh la retranchant ensuite, puis enextrayant la racine carrée, il vient

coSï#-f-sinj«= l/'l-j-sin «,cosfÆ—sin| a= l/l—sin« :d’ou l’on déduit facilement les valeurs cherchées,

[9] sin^«=j t/l-j-sma-f-ij/l—sin«,

[10] cos ï l/l-fsina\f\jl/l—sina.

A cause des deux radicaux, chacune de ces expressions aquatre valeurs. Pour démontrer à priori que cela doit être ainsi, onobserve qu’elles doivent donner le sinus et le cosinus de la moitiéde tous les arcs qui ont le même sinus : or (14) ces arcs résultentdes formules

J7=2A:H-j-a, X—{ük-\-i) H—a;

donc les expressions de sin j a et cos ^ a doivent donner le sinuset le cosinus des arcs représentés par

AH-j-(a et ■

Mais on peut supprimer AH, en ayant soin de conserver ou dechanger les signes du sinus et du cosinus selon que k est pair ouimpair. Par conséquent on doit avoir pour sin » a , et aussi pourcos ~ a , quatre valeurs, savoir :

sinja = ±sin^« et sini«=±sin(iH—^a),cos {a =±cosfa et cos \a— ±cos(iII—

On voit de plus qu’elles sont égales deux à deux, et de signes