24- PHEM1EHE PAKT1Ê.

contraires. Si z = 90°, on a;i = 45°, {H — £a = 45"; et lesquatre valeurs se réduisent à deux.

Une autre remarque se présente encore. Puisque H représente180", il s’ensuit que les deux arcs j « et £ H — sont complé-ments l’un de l’autre, et par suite les valeurs précédentes peuventêtre présentées ainsi :

sin j « = ±sin ^a, sin j a = ±cos j«;

cos ^ <z = rt cos j a, cos j a= isin^a.

C’est-à-dire que les valeurs de sin a sont les mêmes que celles decos j a ; et c’est ce qu’indiquent aussi les formules [9] et [10].

Il reste maintenant une difficulté à éclaircir : c’est de savoircomment, lorsqu’on connaît l’arc a et son sinus , on peut discer-ner celle des quatre déterminations qu’il faut choisir pour sin { aou pour cos - 2 a ■. car on comprend bien qu’il ne doit y en avoirqu’une seule. Afin d’abréger, ne considérons que sin j a ; en pre-nant les radicaux avec leurs différents signes, les quatre valeurspeuvent s’écrire ainsi

sin \a — -±. j(l/l-}-sin«—l/l—sin a ),siujrf = db;(l/l-f-sina-(-l/l—sin« ).

D’abord il est évident que les deux premières sont égales et designes contraires ; et il en est de même des deux dernières. Ensuite,si on fait le carré des uucs, on le trouve tandis que celuides autres est > : or , on sait (8) que sin’45° = cos’ 45° = ~ ;

donc, abstraction faite des signes, les deux premières valeurs sontmoindres que sin 45°, et les deux dernières sont plus grandes.

Mais , d’un autre côté, quand un arc est donné , il est toujoursfacile de déterminer à priori si le sinus de sa moitié est positif ounégatif, et s’il doit être moindre ou plus grand que celui de 45".Ainsi toute indétermination cessera. Les mêmes raisonnementss’appliquent au cosinus.

Par exemple, soit a <90° ; sin £ a devra être positif et moindreque sin 45" ; cos ^ « devra être positif aussi, mais plus grand quecos 45" : donc il faudra prendre les valeurs [9] et [10] avec les signesqui y sont en évidence.

Ces formules sont, comme on le voit, appropriées aux cas desarcs moindres que 90°. On a le même soin à l’égard de toutes lesformules trigonométriques, parce que ces cas sont en effet lesplus ordinaires.