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PREMIÈRE PARTIE.

cos 2 i a—sin” j a — cos a ; par conséquent l’expression précé-dente se réduit à cos a, et c’est ce qu’il fallait démontrer.

Yoici encore plusieurs transformations que je propose commeexercices :

cos ( a-{-b ) cos ( a — b) — cos 5 a —sin’è,

lang (t5.+»)=l±^iü,

1 — tang a

cos a — -

1 -}- tang a tang £ a ’

, . 4 , sin {a-\-b)

tanga-f-tang b— -!—

cos a cos b

tang a -f- tang b -f- tang c = tang a tang b tang c.

La dernière formule suppose que a-\-b-\-c= 180% et elle prouvequ’o« peut choisir d'une infinité de maniérés trois quantités tellesque leur somme soit égale à leur produit.

Démonstrations géométriques des formules trouvées précédemment.

42. Le lecteur a sans doute remarqué qu’après avoir établi aumoyen de la géométrie les formules du sinus et du cosinus desarcs a -f- b et a ■— b, j’ai employé le calcul algébrique pour en dé-duire toutes les autres. De là résulte que, les premières ayant étédémontrées vraies pour tous les arcs possibles , les dernièresne peuvent manquer d’avoir le même degré de généralité ; etc’est là le caractère essentiel des méthodes analytiques. Au con-traire, en se servant des constructions géométriques, il y a tou-jours lieu de craindre que les conséquences ne conviennent qu’auxseuls cas représentés dans les figures : cependant, comme elles ontl’avantage de rendre la vérité plus sensible, je vais démontrer parcette voie les principaux résultats obtenus précédemment.

43. Le sinus et le cosinus d’un arc étant donnés, trouver lesinus et le cosinus de l'arc double.

Soit (fig. 6) l’arc AB = BC = a, et faisons les constructions tellesque les indique la figure : on a

sin<z=AP, cosa=OP, sin 2a— CQ = 2PH,cos2a=OQ = OH—QH = OH—AH.

Le triangle rectangle OPA donne

APXOP rt¥I ÔP 5OA ’ — AO’

PH:

AH =

AP 5

ÔÂ ;

i